数值优化算法技巧（如何进行容差设计与概念设计）

一、如何进行容差设计

通过参数设计确定了系统各参数值后，就要进行容差设计，以进一步确定有关参数的允许波动范围。容差设计是田口方法的第三次设计。

（一）容差设计方法

1.建立质量损失函数。

设计产品的质量特性为Y，目标值为M，当Y≠M时，则造成损失。|Y-M|越大，损失越大。相应的产品质量特性为Y时的损失为L（Y）。若L（Y）在Y=M处存在二阶导数，则按泰勒公式展开有：

设Y=M时，L（M）=0，又因L（Y）在Y=M处有极小值，所以L’（M）=0，再略去二阶以上的所有高阶项，则有：

2.对系统因素的粗略设计。

从参数设计确定对系统因素的粗略设计，以确定质量特性规格的中心值。

（二）容差设计的系统分析

容差设计要考虑系统本身各参数对目标特性的影响，同时要考虑噪声因素对系统的影响。还要进一步分析系统中各因素的波动对输出波动的影响，并利用贡献率作为因素效应的定量评价指标。对影响大的因素，可规定较狭小的允许波动范围，并可用波动幅度小的元器件代替波动幅度大的元器件。从成本上提高新产品的市场竞争力，这是容差设计时需要综合考虑的问题。

【例】有A、B、C、D四个因素影响系统的输出，SA=40%，SB=30%，Sc=10%，SD=5%，试分析其影响程度。

（1）由于SA=40%，SB=30%，Sc=10%，Sp=5%；SA、SB、Sc的影响最为显著是主要因素。

（2）因为SA Sg Sc Sp=40% 30% 10% 5%=85%；其他因素的影响=100%-85%=15%

从上述内容可以看到噪声因素是不可忽视的因素，它的作用可直接影响到输出的结果。因此在容差设计中不可忽视不可控因素（噪声因素）的影响，使新产品的设计更趋合理性。

二、如何进行概念设计

在确定设计任务之后，通过抽象化，拟定功能结构，寻求适当的作用原理及其组合等，确定出基本的求解途径，得出求解方案，这一部分的工作叫概念设计。

（一）概念设计过程

分析顾客需求到生成概念产品的过程就叫产品的概念设计过程。下图是概念设计的过程模型。

概念产品设计的过程是由产品需求映射到功能，由功能映射到原理，由原理映射到概念产品的过程。下面是概念设计的流程图。

（二）概念设计的决策模型

1.AHP决策模型。

AHP（Analytic Hierarchy Process)决策模型是对设计问题进行层次分析，找到各层次问题因素的重要度，然后进行设计决策的过程。

AHP决策的基本步骤是：

（1）确定问题。

即确定问题的实质与范围及其所包含的要素及其因素之间的相互关系。

（2）构建层次结构。

最高层：表示解决问题的目的，即AHP所要达到的目标。

中间层：表示采取某些措施或方案来实现既定目标所涉及的中间环节。

最低层：表示解决问题的措施与方案。

如下图所示。

（3）构造判断矩阵。

判断矩阵表示针对上一层次某一元素与本层次元素之间相对重要性的情况。假定A层次中元素AR与下一层次B1、B2…Ba有关，则判断矩阵B，如下表所示。其中bij表示对AR而言，Bi对Bj的重要性，通常Bij可取1，3，5，7，9及他们的倒数。

1表示Bi与Bj两者重要度相同；

3表示Bi比j稍重要；

5表示Bi比Bj明显重要；

7表示Bi比Bj更重要；

9表示Bi比Bj极端重要。

bij=1；bij=1/bij；i，j=1，2…n。

（4）层次单排序。

层次单排序是根据判断矩阵对上一层某元素而言，本层次与有关元素重要性次序的权值，它是本层次所有元素相对上一层次而言的重要性排序的基础。

（5）层次总排序。

层次总排序是利用同一层次并排序的结果，可以计算针对上一层次而言，本层次所有元素重要性的权值。

层次总排序如下表所示矩阵。

层次总排序从上到下逐层排序下去，就可得到最高层元素相对于最低层元素的结果。若最低层为设计方案，则该结果意味着对方案的排序。

（6）一致性检验。

对复杂事物的各因素进行比较，判断不可能完全一致，可检验判断逻辑的一致性水平。CR=CI/RI是作为判断一致性的指标。

1~10阶矩阵的取值见下表。

一般来说，CR越小，判断矩阵的一致性越好。当CR≤0.1时，即认为判断矩阵具有令人满意的一致性，否则须重新进行判断，使之满足一致性。通过一致性检验后，算出判断矩阵在特征值为入mas时的特征向量，就得到了各因素的相对权重。

2.概念设计的评价模型。

概念设计的评价模型是概念设计决策的重要一环。概念设计的科学评价是设计师共同探讨的课题。

（1）建立概念设计的评价体系。

由于概念设计方案的结构尺寸尚未精确确定，因而对某些属性指标无法定量分析，只能用模糊概念加以描述。所以用模糊数学将模糊信息数值化，从而进行定量评价。

①评语集E。

它表示对概念产品方案评价的等级分类集合。

②评价指标集T。

它表示对概念产品评价方案的各种指标的集合。

③权重向量集W。

它是反映各评价指标重要程度的量化系数。

④隶属度集R。

（2）概念设计的评价方法。

其中，bj为向量B的第j个分量，也即模糊综合评价中概念设计方案的各个指标对第j个评语的隶属度。以最高隶属度为最优方案。

（三）概念设计的基本方法

产品的功能设计、原理设计和结构设计是概念设计的核心内容，它们的一些基本设计方法具有普遍的意义。

1.产品的功能设计。

产品的功能设计，其主要任务是确定某个抽象层次的功能，分解功能，建立功能树和功能结构。

（1）功能树。

产品的功能是由若干子功能构成的。各个子功能可以构成功能树。如下图所示。

一个产品往往是由许多功能组成的。一些是主要功能，一些是次要功能，在设计过程中为了实现一个功能，又要确定它的子功能或次要功能，这个过程叫功能分解或建立功能结构树。

（2）功能元。

子功能可进行分解为功能元，功能元是功能的基本单位。常见的基本功能有物理功能元、逻辑功能元、数学功能元、电子功能元和化学功能元。

①物理功能元反映系统中能量、物料、信号变化的基本动作。它又可分为“转变——复原”功能元、“放大——缩小”功能元、“变向——反向功能元”、“连接——分离功能元”等基本功能元。

②数学功能元是构成计数动作的基本功能元。如加和减、乘和除、乘方和开方、积分和微积分等数学机构。

③逻辑功能元包括“与”、“或”、“非”三元逻辑动作，主要用于控制功能。

④电子功能元是构成数字化世界的基本功能元，没有电子功能元的世界是无法想象的，电子功能元是信息化社会的基本载体。

⑤化学功能元是能源动力的基本功能元。在能源枯竭的那一天，化学功能元的作用将会发挥到最大限度，将会带来一场新设计的革命，打破传统观念，重新设计人类和社会。

（3）功能结构。

多个子功能之间的互相协调过程叫功能结构，只有子功能的相互作用才能形成高层或主要功能的作用或效能。常用的功能结构有串联结构、并联结构和环形结构等。

①串联结构，又称顺序结构，它反映了子功能之间的因果关系或时间、空间的顺序关系。其基本形式如下图所示。

②并联结构：几个功能作为手段共同达到一个目的，或同时完成某些子功能后才能执行下一个子功能，则这几个分功能处于并联关系。如下图所示。

③环形结构，又称循环结构，输出反馈为输入的结构，如下图所示，是按逻辑条件进行分析，满足一定条件循环进行的结构。

建立功能结构的目的是为了在概念设计的初级阶段就引入产品装配过程约束，使设计的产品具有良好的结构，能在形成概念产品时有效进行装配。功能结构的实现是各种工作流、信息流、能量流等作用的结果。如下图所示。

2.产品的原理设计。

产品是实现物理效应、化学效应和生物效应的集合过程。首先寻求对应其功能的物理效应，将支配物理效应的物理定律或经验规律表达出来，然后构思产品行为，这就是产品原理设计的内容。

（1）行为过程模型。

行为过程是产品原理设计的构思过程。实现产品功能行为往往是一个复杂的过程，总行为可以分解为一系列的子行为，总行为是由一系列子行为构成的网络模型。如下图所示。

输入分有利输入和有害输入，应尽量避免有害输入，以达到可靠的功能输出。

（2）行为过程的子行为约束条件。

行为过程的生成是根据物理效应、化学效应或生物效应分解行为，并使前后子行为相容，在总行为过程中，每一个子行为应该满足如下条件：

①存在相应的驱动输入，且相关约束可以得到满足。

②子行为的功能输出满足设计要求，且相关约束可以得到满足。

③不存在明显有害的输入，若有必须采取措施。

任何子行为都要满足物理原理，是相应物理原理成立的条件，这样才能产生相应的物理现象和相应的行为。

（3）产生子行为的一般步骤。

若子行为不能满足约束条件，就应该设计一个子行为来满足这些条件。基于这种看法，可以得到生成子行为的步骤：

①生成子行为，其功能输出满足由功能任务分解得到的相应子功能，其输出功能约束符合相应子功能约束，子行为如满足这一原理，该行为即为输出行为。

②对每一输出子行为，判断其驱动输入要求是否为直接从工作环境中提供且相应约束能够满足，如果是，则该子行为不要内部子行为而直接跳到步骤④；如果否，则需要一个或几个内部子行为，根据工作原理库生成合适的内部子行为。

③对刚生成的内部子行为重复步骤②，继续步骤①、步骤②直到整个行为过程的初始驱动输入能够直接由工作环境提供为止。

④检查生成的行为过程，判断是否是严重的有害输入，如果是则应用新的子行为消除或减轻有害影响，或重新生成新的行为过程以避免这种影响。

（四）产品的结构设计

产品的结构设计是在原理设计的基础上，确定整个产品的特征结构和形状尺寸，在这个过程中，并不涉及各个零部件的细节设计，主要任务是考虑功能要求在几何与结构层次上如何得到满足，将各种功能的输入输出变量、环境要求、工作条件等按照一定的规则或原理转变成装配结构中的一些主要几何参数和材料参数等设计变量，既为概念产品评估符合要求的满意度，也为后续的详细设计提供基础。

（1）面向功能的结构设计，即将功能映射为原理构件。

根据功能特性的不同，功能联接可分为三种类型，即固定联接、运动联接和传动联接，它们的特性如下：

①固定联接：两相关构件没有相对运动，两个位置都相对固定，主要功能是固定构件位置。

②运动联接：两相关构件存在相对运动，其中一个位置固定，另一个有运动，主要功能是限制相对运动。

③传动联接：两相关构件存在相对运动，且两构件都有运动，主要功能是传递运动和动力。

（2）面向制造的结构设计，即将设计视角从功能转向制造实现。

必须在满足需求模型指定相关的形状约束之下，在原理构件的基础上进行零部件粗略的几何形状设计，确定结构的材料，并将功能联接作为零部件之间装配关系设计的基础，识别有重叠的结构，将其合并或去除，再添加联接功能面的自由面，从而形成实体零件。

（3）多重图是来表达结构解的过程。

图中矩形节点表示原理构件，圆形节点表示功能节点，染色节点是与低层次相关的图节点，未染色节点是叶节点，A的子节点有B、C、D，节点B的父节点是A，并有子节点E、F、G、H，节点K有子节点E、M、N，其中E在其他地方出现，称之为功能性共享节点，可用源节点的映像来表示。可见多重图能在不同水平上描述细节形状模型。如下图所示。

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