牛顿设计牛吃草的问题（牛顿给你上一堂数学课）

1989年版《辞海》（缩印本）关于牛顿的介绍

题记

我不知道这个世界会如何看我，但对我自己而言我仅仅是一个在海边嬉戏的顽童，为时而发现一粒光滑的石子或一片可爱的贝壳而欢喜，而我面前的伟大的真理的海洋依然未经探索。

——艾萨克·牛顿

牛吃草问题又叫牛顿问题，因由英国伟大的物理学家牛顿提出而得名。本文分为两个单元论述牛吃草问题。第一单元是：经典著作中的牛吃草问题，谈谈牛顿提出的题目和苏联科普作家别莱利曼的解答。第二单元是：奥数视角看“牛吃草”问题，谈谈奥数教学对牛吃草问题的更深入更广阔的发掘和拓展。祝阅读愉快。

【经典著作中的牛吃草问题】

今天的话题是牛吃草问题，通过两个例题的讲解，希望大家都能掌握解题思路和具体方法。请先看第一个例题：牧场上的母牛。题目见图1，别莱利曼的解答见图2和图3。

图一：牧场上的母牛

这个题目的难点在于牧场上的草在匀速生长。如果忽略了这一点，就会这样计算：70×24÷96=17.5这个答案当然是错误的。或者这样计算：70×24÷30=56认为题目的第二个条件是矛盾的。这个看法当然是错误的。

图二：题目分析

图三：题目解答

别莱利曼的解题思路是这样的：先引入一个辅助的未知数y，用它来表示牧场每天新长出来的草的数量。再根据题目条件进行分析，找到与y有关的等量关系，列方程式求出y，解决了问题最大的难点。设一头牛一天的吃草量为1份草，已知y，就求出了1份草的数量。最后，设所要求的牛的头数为x，根据天数×牛的头数×1份草等于原有的草 新长出来的草的等量关系列方程式求解x。再看第二个例题：牛顿的问题。

图四：牛顿的问题

图五：分析与解答

这个例题比较难，详细讲解一下。首先需要设辅助未知数y=新长出来的草的数量。y与两个条件有关：时间和面积。时间的单位是星期，面积的单位是顷。y是一个分数，分子是一顷地在一星期内新长出来的草的数量，分母是一顷地原有草的数量。y表示出一顷地一星期内新长出来的草占一顷地原有草的比值。例如，本题的y=1/12，意义是一顷地原有草的数量是1，一星期内一顷地新长出来的草的数量是1/12。明确了y的定义就容易知道，一片牧场新长出来的草的数量等于面积、时间和y这三个量的乘积。怎么求出y呢？可以用一份草的概念列方程式来求。设一头牛一星期吃草的数量是一份草，根据条件一和条件二可以列方程式求出y。牛吃草问题有两个不变：草的生长速度不变和一头牛一天的吃草量不变。这两个不变是我们解题的依据。y求出来了就容易知道一份草的数量，问题也就迎刃而解。三片牧场的原有草量是一个固定值，等于牧场的面积。求出一份草的数量后，容易换算原有草量等于一份草的多少倍，问题的全部信息就都一清二楚了。现在我们知道新长出来的草的数量y=1/12=4.5/54，一份草=5/54，三片牧场原有草的数量分别是36份、108份和259.2份。

小学生是否还记得老师在课堂上讲过的分数的意义？如果忘记了，让我帮你回忆一下。

分数的意义

1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。

3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。被除数÷除数 = 用字母表示：a÷b= （b≠0）。

4、分数未带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一个具体的数量。

【奥数视角看“牛吃草”问题】英国著名物理学家牛顿提出的“牛吃草”问题的实质是消长问题。经过长时间的发展和演变，通过奥数视角看“牛吃草‘问题，会发现不一样的风景。

A4纸抄录的奥数“牛吃草”问题的解题宝典

“牛吃草问题”已经不再只是简单的牛吃草问题了，有很多的变形，像水池进水排水、自动扶梯上下、检票口排队、行程问题等问题，本质上都是“牛吃草问题”。牛吃草问题的难点在于草的总量在随时间变化，解题的关键在于用数学思维理清数量之间存在的变与不变的关系，找到等量关系，寻找平衡方程。解题方法也很多，有列表法，画线段图法（数形结合），方程（组）法等等方法。先来看看变与不变的情况：

牛的数量（是变化的）、

牛吃草的时间（也是变化的）、

青草的总数量（肯定是变化的）、

青草的生长速度（匀速的，不变量）、

牧场原有青草的数量（不变，是固定值）、

新长出的青草数量（生长速度不变，但总量随时间变化）

一份草的数量（不变，等于一头牛一天的吃草量）

再看几道例题，重点是用画线段图法（数形结合）解决牛吃草问题。

奥数方法解“牧场上的母牛”

请看上图，在第一单元【经典著作中的牛吃草问题】中，我们已经介绍了列方程式法解“牧场上的母牛”。现在，我们用奥数的方法来解这道题目。请看上图的线段图，它能够帮助我们理清思路，下一步就是列式计算了：

设一头牛一天的吃草量为1份：

（1）先求每天能够长出多少份草

（30×60-70×24）÷（60-24）=120÷36=3又3分之1（份）

（2）求原有草量有多少份

30×60-60×3分之10=1800-200=1600（份）

（3）求总草量（原有草量与新生长草量的和）

1600 3分之10×96=1600 320=1920（份）

（4）求牛的头数

1920÷96=20（头）

奥数的追及问题也是牛吃草问题

请看上图，是否有点惊讶？这道题目明明是行程问题中的追及问题，怎么奥数也把它归入牛吃草问题呢？其实这道题目可以改编为牛吃草问题：青青牧场每天青草都在以均匀的速度生长，24头牛可以6天把草吃空，20头牛可以10天把草吃空，问19头牛多少天可以把草吃空？你看，这两道题目是不是本质都是一样的呢？自行车代表青草的生长速度，快中慢三车代表不同数量的牛群的吃草速度，所以牛吃草问题也可以变形为行程问题中的追及问题。我们知道追及问题可以用公式来解：

追及时间=追及距离÷速度差

如果把三车从A地出发时，自行车所处位置称为B点，那么从A到B的路程就是公式中的追及距离。

先求自行车的速度：

（20×10-24×6)÷（10-6）=14（公里/小时）

再求追及距离

24×6-14×6=60（公里）

最后求题目所问的追及时间，套用公式：追及时间=追及距离÷速度差

追及时间=60÷（19-14）=12（小时）

验算：快车的追及时间=60÷（24-14）=6（小时），与题目提供的条件一致，证明计算无误。

不但追及问题可以转化为牛吃草问题，而且自动扶梯问题也是牛吃草问题。请看下面两道例题。

自动扶梯顺行问题

自动扶梯问题可以分为顺行和逆行两种类型。先看上图的顺行问题。画出线段图可以直观地帮助我们分析问题，找到解题思路。利用公式：路程=速度×时间，可以算出电梯一分钟行驶的台阶数是：

（20×5-15×6）÷（6-5）=10（级/分钟）

再求台阶数就简单了

20×5 10×5=150（级）

或15×6 10×6=150（级）

再看下面逆行的题目：

自动扶梯逆行问题

还是一样的套路，先求电梯的行驶速度

（2×300-3×100）÷（300-100）=300÷200=1.5（级/秒）

再求电梯有多少级台阶

2×300-1.5×300=150（级）

或3×100-1.5×100=150（级）

自动扶梯问题的总结：

顺行的情况：电梯的台阶数=男孩上楼台阶数 电梯行驶台阶数

=男孩速度×时间 电梯速度×时间

或 电梯的台阶数=女孩上楼台阶数 电梯行驶台阶数

=女孩速度×时间 电梯速度×时间

逆行的情况：电梯的台阶数=男孩上楼台阶数-电梯行驶台阶数

=男孩速度×时间-电梯速度×时间

或 电梯的台阶数=女孩上楼台阶数-电梯行驶台阶数

=女孩速度×时间-电梯速度×时间

奥数方法解决牛吃草问题的总结：在小学这类问题常用到四个基本公式，分别是：　　（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；　　（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；　　（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；　　（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。　　这四个公式是解决牛吃草问题的基础。

最后，再介绍一道有关自动扶梯的例题，向著名的苏联科普作家别莱利曼致敬。

地铁的自动扶梯问题1

地铁的自动扶梯问题2

莫斯科地铁，被公认为世界上最漂亮的地铁，按运营路线长度为全球第五大地铁系统，按年客流量为全球第四繁忙暨亚洲以外第一繁忙的地铁系统。1935年5月15日，苏联政府出于军事方面的考虑，正式开通莫斯科地铁。地下铁道考虑了战时的防护要求，可供400余万居民掩蔽之用。

地铁站的建筑造型各异、华丽典雅。每个车站都由国内著名建筑师设计，各有其独特风格，建筑格局也各不相同，多用五颜六色的大理石，花岗岩，陶瓷和五彩玻璃镶嵌除各种浮雕，雕刻和壁画装饰，照明灯具十分别致，好像富丽堂皇的宫殿，享有“地下的艺术殿堂”之美称。

莫斯科的地铁车站像华丽的地下宫殿

雅科夫·伊西多罗维奇·别莱利曼(Yakov I. Perelman,1882–1942)，俄罗斯和苏联科普作家，是包括《趣味物理学》、《趣味代数学》、《趣味力学》《趣味天文学》《趣味几何学》等许多科普图书的作者，前苏联时期曾被翻译成各种语言版本。为纪念别莱利曼对科普事业做出的卓越贡献，在月球上有一处直径46公里的环形山就是以他的英文名：Perelman命名。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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