学了数学基础对数学的重新认识（数学思维的妙处）

文/老余

你有没有过这样的两种体验：

1、有些事情，一开始你提高得很快，当信心倍增准备大干一场后，天花板很快就来了，无论自己怎么努力，进步都异常迟缓。

例如跑步，一开始一口气只能跑500米，但几天后你就能跑一公里，且速度还可以，然后你度过了一段时间的快速增长期。

接下来就是进步越来越慢，最后哪怕你付出极大的代价（时间、精力、装备、请私教），也只能获得一丁点儿进步；

2、但有些事情恰恰相反，为一件事努力付出了很长一段时间都没有明显的效果，突然有一天就顶破了天花板，一路狂奔到自己都没有想到的高度。

例如学习投资。

首先，你得突破买什么什么就跌，卖什么什么就涨的瓶颈，绕了一大圈，最后你发现是追涨杀跌导致的，你决定不追涨杀跌了，但你还是没有挣到钱，然后你发现是自己没有交易体系导致的，于是你把市面上所有关于投资的经典全都买回来研读，想在此基础上吸收众家之长为我所用。

然后，你就进入到一个“公说公有理，婆说婆有理”的混乱期，但还是总结出了一套东西，你兴奋不已。

紧接着你会发现，这套东西实在是太复杂了，在真实的交易中完全无法操作。

接着，你还发现并不是所有大师的交易理念你都接受，你觉得要根据自己的性格来简化体系。

于是你又开始折腾，终于总结出了一套属于自己简单易行体系，此时你发现前面学的都是西方市场的经典，与我们这边的实际差别实在是太大了，你只能接着折腾。

最终，在你滴水穿石的恒心下，你终于成功了，市场验证下来你赚多亏少，这套交易体系非常适合你。

但时间已经过去了快十年，在外人看这段时间你完全没有进步，但就在那一刻，你悟到了，你突破了天花板，投资水平一下子就显现了出来，大家难以理解你是怎么一下子变得那么厉害的。

这两种体验肯定有朋友知道：

——前一种增长叫做「对数增长」，后一种增长叫做「指数增长」。

本篇来说说这两种增长模式的特点及对生活的一些启发，希望对你有用。

对数增长曲线

（一）对数、指数增长的特点

一、我们先看对数增长曲线

从上图中很直观地看到，要是某个事物的增长符合对数增长曲线，那在初期的进展就会非常明显（曲线陡峭），但随着时间的推移，中期增长开始乏力，在后期曲线走向趋于平直，要增长一点都要费死劲才行。

在现实生活里，很多事儿都符合这个曲线：

所有的体育项目基本都符合，你看百米短跑，自从1968年海因斯在墨西哥奥运会跑进十秒（9秒95），现在的纪录是博尔特2009年创造的——9.58秒，这40年来，世界纪录也只前进了0.37秒，且会越来越难。

除了体育，像棋类、艺术类、表演类、健身、减肥、学英语等一开始只要稍微努力进步就很明显，但后面的增长却很乏力的事儿，都基本属于对数曲线的“管辖范畴”。

关于这个曲线，给了我一些感触：

• 关于教育的误判

一个两三岁的孩子会写很多字、会背很多诗，我们总觉得这孩子天赋异禀，但其实只要父母有意，舍得花时间和精力，孩子们都可以达到这样的程度（有兴趣的可以看看蒙台梭利的《吸收性心智》），所以这种只要努力短期内效果就很明显（背一首就是一首）的技能，属于天花板比较低的对数增长。

而我们误以为这个技能是天赋所致，所以很多这样的孩子长大后的成绩不及父母的预期，有种“伤仲永”的感觉。

这就有点误判了。

• 关于突破的预判

如果我们认识到了眼前这个事儿属于对数增长模型，那我们心里就要明白两点：

1. 上手容易、超越身边的人容易，因为只要投入比这些人多，自然这方面就会比这些人强；
2. 但要成为高手，会非常难，且高手与普通之间，区别也只在毫厘之间。

二、我们再看指数增长曲线

指数增长曲线

从上图指数增长曲线可以看到，这与对数刚好是反着来的：前期 中期的很长一段时间里，这件事的增长非常缓慢，但一旦积累过了临界点，前期的积累会成倍成倍的回报给你，且天花板很高。

在现实生活里，也到处是这样的事儿。

比如读书考学，从幼儿园到小学到初中高中，这前期和中期的时间很长，这样漫长的积累就看能不能在高考这个临界点有所突破，正所谓“十年寒窗无人问，一举成名天下知”；

比如科学研究、商业创新、个人成长等一开始耗时费力效果还慢，可没有前面大段大段的铺垫就不可能成的事儿，基本都属于指数类型的增长。

指数增长曲线虽然美，但为何得到他的人少之又少呢？因为：

——日拱一卒的恒心很少见。

无论是投资还是成长，谁都想拥有指数级别的增长，但要想获得最后一路飙升的果实，我们就得忍受前期和中期的孤独寂寞冷。

有句鸡汤叫“失败只有一种，那就是半途而废”，但注定很多人是无法忍受这个过程或经不起岔路的诱惑，基本都会中途退出。

这也是为何全世界75%的财富就聚集在10%人手里的原因。

两种曲线介绍完了，能给我们哪些启发呢？

其实很深刻。

（二）这两种曲线，如何指导我们现实生活？

我起码看到了两点：

1、我们多了一个事情发展的思考维度，有些事情不尽人意，或许是客观规律在起作用。

一旦事情进展不顺利，我们思考的维度其实就两个：要么是人不行；要么是环境变了。

前一阶段不是还增长迅速嘛，怎么最近就慢下来了呢？是不是员工懈怠了？是不是领头的心里有小九九了？是不是市场环境变了？

一旦我们预设的原因错了，后面跟进的措施必定就是错的，结果当然也好不到哪里去。

但现在我们多了一种考虑的维度：

一件事进展不顺利，或许正在经历对数曲线后期，也可能是指数曲线的早期，而这两种曲线的不同时期增长就是这样的客观存在，不以任何人的意志为转移。

所以我们此时要做的，不是去找人和找环境的原因，我们仅仅要做的就是遵循客观规律而已。

2、不以物喜，不以己悲

在之前，当你开始干一件事异常顺利时，我们可能会觉得是自己很厉害。

但现在，你可能会重新思考这应该是一件对数曲线的事儿，前期那种事半功倍的顺畅其实与自己关系不大，规律如此罢了。

所以，当事情快速向好的方向发展时，请不要自恋，做人不要太把自己当回事。

相反，当你为一件事使劲了很久还没有明显的效果时，我们可能会觉得自己很没用。

但现在，你可能会重新思考自己遇到的或许是一件指数曲线的事儿，当前期出现那种无论怎么努力都不见成效的停滞状态，其实与你关系也不大，规律如此罢了。

所以，当事情还没有转机时，请不要自卑，做人不要太不把自己当回事。

（三）结语

在我们日常遇到的问题里，这两种增长曲线基本都能囊括，所以当我们遇到一件事儿，基本就是这两种曲线其中之一。

为了让自己更客观，为了让这件事大概率能成，我们首先要去判断这是一件关于对数还是指数的，然后就会知道这种增长模式的特点，进而可以做好相应的心理准备。

无非就是两种情况：要么是前期容易一些，后期会难一些（对数）；要么是前期难一些，后期好一些（指数）。

人最怕的其实不是苦，而是未知，而一旦对这件事的发展趋势有了明确的预判，就消灭了未知，只剩下过程中已知的苦了，既然苦到什么程度都知道了，那苦涩基本就减半了。

这是我认为坚定走下去，防止半途而废最好的办法。

最后，我们做一个小测试，请仔细看题：

有一池子睡莲，他的盛开速度是这样的，今天盛开的面积是昨天的2倍，已知到第30天整个池子刚好开满，请问池子莲花盛开一半是第几天？

我们留言区见。

（完）

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