椭圆定义及标准方程教学设计（椭圆的简单几何性质）

吴亲饶 (河北承德第一中学)

教学内容解析

“椭圆的简单几何性质”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（选修2—1）中的第二章第二节第一课时的内容。解析几何是高中数学重要的分支，是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科。

本课是在学生学习了曲线与方程、椭圆的定义和标准方程的基础上，根据方程研究椭圆的几何性质。椭圆是生活中常见的曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上。研究椭圆几何性质的过程中，几何直观观察与代数严格推导互相结合，处处是形与数之间的对照//翻译和互相转换，这也正是辩证法的反映。

方程研究曲线性质，即用代数方法解决几何问题，将对复杂的几何关系的研究转化为对曲线方程特点的分析，代数方法可以程序化地进行运算，代数法研究曲线的性质有较强的规律性， 这也正是创立解析几何的最直接目的。

教学重点：椭圆的简单几何性质；用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围及对称性。

【设计意图】

（1）让学生在作曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点。

（2）学生联系到函数描点法作图时，认识到函数和方程的区别与联系，有利于学生更好地理解数学知识间的关系，但此处不作为教学重点。

该椭圆关于x轴和y轴轴对称，是不是所有椭圆都关于x轴和y轴轴对称？所有椭圆是不是都有两条对称轴？同样的，是不是所有的椭圆都像该椭圆一样都关于原点中心对称呢？是不是所有的椭圆都有一个对称中心呢？

以上问题均有学生作答。最终总结出椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

【设计意图】用代数法判断对称性具有一定难度，教师适当引导，突出“任意取一点”。学以致用能让学生体会到利用方程判断曲线对称性的好处。研究该椭圆对称性时，指出一般椭圆的对称性，体现特殊与一般的区别。

探究3

师：研究曲线上某些特殊点，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的

位置，这常常需要求出其与x轴和y轴的交点坐标。

问题1：该椭圆与x轴和y轴的交点坐标分别是什么？

指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长；x轴和y轴为该椭圆的对称轴，椭圆与坐标轴的4个交点为椭圆的顶点。

问题2：椭圆的顶点如何定义？

预案：学生可能会回答椭圆与x轴和y轴的交点称为椭圆的顶点。

【设计意图】让学生理解研究特殊点的意义；明确特殊与一般的区别

收集有关笛卡儿与解析几何，费马与解析几何的资料，结合本节课学习，

写一篇小论文。

【设计意图】理清知识结构，关注探究过程中的活动体验；加强课堂中数学思想和数学文化的渗透。

5.分层作业

必做：教材第48页练习2，3，4，5。

选做：教材第49页习题2.2，A组：9。

【设计意图】必做题为椭圆几何性质的应用；选做题需用方程研究椭圆性质。

教学反思

本课是在学生学习了曲线与方程、椭圆的定义和标准方程的基础上，根据方程研究椭圆的几何性质。椭圆是生活中常见的曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。

1.创设合理问题情境

指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长；x轴和y轴为该椭圆的对称轴，椭圆与坐标轴的4个交点为椭圆的顶点。

问题2：椭圆的顶点如何定义？

预案：学生可能会回答椭圆与x轴和y轴的交点称为椭圆的顶点。

在离心率的引入中，笔者之前的问题是椭圆的扁平程度不一，用什么量可以刻作椭圆的扁平程度？现在问题是用a，b，c中的哪两个量的比值可以刻作椭圆的扁平程度？问题更加明确和开放，同时也更有价值。

在以问题串引领的四次探究中，学生独立思考与小组合作相结合，通过多种方法探求椭圆的范围，使学生既经历了用方程研究曲线性质的过程，又理解了数学知识间的密切联系；通过方程判断曲线对称性使学生体会到解析法的好处；离心率的引入既开放又明确，使学生理解得更加自然透彻。

3.及时反馈增进知识理解

例题教学是数学课堂中重要的环节，是把知识，技能和思想方法联系起来的一条纽带。笔者注重学生对习题的规范解答，鼓励学生从多个角度发现和解决问题，同时也注意引导学生关注不同方法的区别与联系；在课堂总结环节中，不但要引导学生理清知识结构，关注探究过程中的活动体验，更要加强在课堂中对数学思想和文化的渗透。

4.多媒体合理应用

在探究过程中，笔者用幻灯片及时地展示出图形和问题；学生的探究结果用投影仪清晰直接地展示，提高了课堂效率；离心率引入时，用几何画板软件动态演示，学生理解得更形象生动。