高中数学集合基础知识讲解（高中数学集合与常用逻辑知识点归纳）

考试内容

集合、子集、补集、交集、并集、逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件

考试要求

1、理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。

2、理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。

集合与简易逻辑知识要点

一、知识结构：

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

（一） 集合

1、 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用。

2、集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法。

3、集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。

4、集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为

；

②空集是任何集合的子集，记为

；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果

，同时

，那么A = B。

如果

，

，那么

。

.

【注】：

①Z= {整数}（√） Z ={全体整数}（×）

②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集。（×）（例：S=N； A=

，则CsA= {0}）

③空集的补集是全集。

④若集合A=集合B，

5、① {（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R} 坐标轴上的点集。

② {（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R} 二、四象限的点集。

③ {（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集。

【注】：

①对方程组解的集合应是点集。

例：

解的集合{（2，1）}

②点集与数集的交集是

。

6、①n个元素的子集有

个；

②n个元素的真子集有

个.；

③n个元素的非空真子集有

个。

7、（1）①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真， 否命题逆命题。

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，原命题逆否命题。

（2）小范围推出大范围；大范围推不出小范围。

8、 集合运算：交、并、补。

9、 主要性质和运算律

（1） 包含关系：

（2） 等价关系：

（3） 集合的运算律：

10、有限集的元素个数

定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card（

）

=0。

基本公式：

（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1、整式不等式的解法

根轴法（零点分段法）

①将不等式化为

形式，并将各因式x的系数化“ ”(为了统一方便)；

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“ ”后）是“>0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x轴下方的区间。

（自右向左正负相间）

则不等式

的解可以根据各区间的符号确定。

特例：

① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式ax2 box>0(a>0)解的讨论。

2、分式不等式的解法

3、含绝对值不等式的解法

（1）公式法：

型的不等式的解法。

（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论。

（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题。

4、一元二次方程根的分布

一元二次方程：

（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之。

（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之。

（三）简易逻辑

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：p或q（记作“p∨q” ）；p且q（记作“p∧q” ）；非p）记作“┑q” ）。

3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断

（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真。

4、四种命题的形式：

原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；

否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。

5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)

①原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②原命题为真，它的否命题不一定为真。

③原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若pq且qp，则称p是q的充要条件，记为p⇔q.

7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出（与已知、公理、定理…）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

--END--

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