平面向量的基本定理及其意义（必须要理解平面向量基本定理）

任取平面中两个不共线的向量a、b，那么平面中所有的向量均可用a和b表示，下面我们就来证明这个定理。

由于向量在平面中可以任意平移，那么我们可以将向量a、b的起始点平移至同一点，即两个向量都是从点A出发的，从点A出发任意方向作一个向量c，从c的终点处分别作向量a、b的平行线，形成一个平行四边形，那么由向量相加的平行四边形法则可知，向量c可以表示成分别与a、b共线的两个向量之和。

这个定理叫做平面向量基本定理，定理成立的前提是，a、b均非零且不共线。

垂直的两个向量必然不共线，如果我们取平面直角坐标系中分别与x轴和y轴共线的单位向量m、n，那么根据上述定理，平面中任意一个向量c均可表示成

可用实数对(x,y)来表示向量c，这就是可以用坐标表示向量的原理。

三维空间坐标系以及更高维度的坐标系中，也有类似的结论，即N维坐标系中的任意向量可用N个互不共线的一组向量表示。这其中的证明思想是类似的。

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