数学三万年发展史纪录片（玩转数学史无限与超越）

在19世纪，数学家们进入了一个神奇的领域。这里由新的维度、虚数，还有只有一个面的表面。一马当先的是德国数学家卡尔·弗雷德里希·高斯（1777—1855年），有人称其为“数学王子”。

“数学王子”高斯

高斯是一名数学神童，他3岁时就纠正了爸爸的算术错误，7岁时速算出了1到100之间整数的和，令大人们十分吃惊。成年后，他在数论、几何、统计、天文学与电磁学方面取得了许多突破。

逼近极限

即使是高斯，这个被当时人们认为是那个时代甚至是自古以来最伟大的数学家的人，也遇到了似乎无法逾越的障碍：无穷。

自古希腊时代起，无穷就是个问题。芝诺提出的著名悖论阿基里斯与乌龟点明了这一问题。比如说，一个数除以无穷（通常用符号∞来表示）应该是多少呢？1除以无穷（1/∞）不能说等于0.然而如果结果哪怕是比0大一点，无穷个累加起来也会得到无穷！

一种绕过这个问题的方法是使用极限。我们先不用无穷去除1，而是用不断增大的数去除1，这个结果会变得越来越小。函数（1/x）的图像显示随着x趋近于无穷，函数值趋近于0，于是我们可以说1/x的极限在x趋近于无穷时趋近于0。

对于增长的函数，例如2x，我们可以说函数值在x趋近于无穷时也趋近于无穷。使用极限看起来躲过了问题，然而，它并没有解释究竟什么是无穷。

“我反对把无穷当成一个实际值来使用”高斯写道，“这在数学上是不允许的。无穷应当只是一种说法，这种情况下由的比例可以被无限逼近，有的则会发散，无限增长。”直到集合论出现之后，真正的无穷概念才被数学界接受。集合论是一种逻辑系统，它把所有的整数都看作整数集的子集而整数集是无穷的。此时，数学已经逐渐变成了哲学。

数学的极限

库尔特·哥德尔与爱因斯坦散步

集合论最终自己定义了数学的极限。在20世纪早期，德国数学家大卫·希尔伯特（1862—1943年）想要建立公理化的属性基础，这样所有数学定理都可以通过少数几条公理得到证明。然而，他的这一雄心壮志被奥地利数学家库尔特·哥德尔（1906—1978年）的不完全性定理击碎了。在许多方面，哥德尔的定理都证明了，可以证明的数学定理的集合只是所有为真的数学定理的子集，并且这两个集合是“不重合的”。换句话说，一定存在为真但无法证明的定理，于是希尔伯特的数学梦想也就永远的破灭了。

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