函数的对称性与周期性常用结论（函数的周期性与对称性）

内容梗概

函数的周期性与函数的对称性是高考的重要考点，但是对于一些常见的结论，同学们很容易混淆，那有没有什么好的方法去区分它们呢？看下面这道题，2016年山东的高考题，大家就能清楚了！

（2016山东文）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)=

；当

时，

，当

时，

.则

=（ ）

A.-2 B.-1

C.0 D.2

时的函数性质；以及当

时的函数性质。通过这4个条件可知，第一优先处理的就是后两个函数性质，其中一个是说的函数的奇偶性，另一个是函数的周期性（这个性质与函数的对称性容易混淆，后面小数老师会给大家讲解一下）。通过两个性质的转化，就可以解出答案了。

解

因为当

时，

，所以f(x 1)=f(x)，可得周期T=1；所以f(6)=f(1)【这里不能得到f(6)=f(0)，这是因为这性质是在

成立】

又因为当

时，

，所以f(x)是奇函数，所以f(1)=-f(-1)

因为 x<0时，f(x)=，所以f(-1)=-2；所以f(6)=f(1) -f(-1)=2

所以答案选择：D

涉及知识点

函数周期性：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x)=f(x T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

函数对称性：函数的对称性是从轴对称图形推导出来的，若对于任意的x，a为常数，有f(a x)=f(a-x)，则函数f(x)关于直线x=a对称。

从定义看不出有易混淆的地方，但是当题目中出现这些定义的变式时，同学们就晕乎了。其实，从定义关系式中可以看出，两个关系式中x的符号不一样，这也是我们分辨函数周期与对称的一个方法，为啥这么说呢？

我们可以这么想一下，周期性是把一段函数图像复制，相当于把一段函数图像平移，此时根据“左加右减”，可知是在x加上或减去一个常数，得到的图像完全相同；而对称是关于一条直线，翻折过来才是相同的，所以是从一条直线往左或往右任意的位置，其函数值都是相等的。

对于本题，当时，，令，所以，所以得到当t>0时，有f(t 1)=f(t),可知f(t)是周期为1的周期函数。

小数老师点评

本题是今年山东文科试卷的第9题，主要考察了分段函数的周期性，对称性以及奇偶性，题目比较综合，难度系数为0.6，是一道中档题。同学们只要根据题目以及所学知识进行分析，基本都能做出来。

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