初一上学期计算题及答案（期末冲刺之角度的计算）

期末复习的脚步临近，本篇主要介绍角度计算中的难题。角度计算是期末考试的重点内容，有时也会作为压轴题出现。角度问题常涉及的概念有：垂直、余角、补角、角平分线等，与旋转、动点等相结合。

方程思想

例题1：将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：

（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．

（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？

（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．

分析：（1）求∠AOD的度数，根据和差关系可知，∠AOD=∠AOB ∠COD，两角的度数已知，代入求值即可，

（2）根据角平分线的定义可知，∠BOD的度数为∠COD度数的一半；

（3）设∠BOC=x，然后表示出∠AOC和∠BOD，再列出方程求解。

遇到连比的，或者倍数关系、和差关系等，可以设未知数，利用方程思想解题、

分类讨论

例题2：若∠AOC=100°，∠BOC=30°，OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠MON的度数．

分析：画出符合的两种图形，点C可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，根据角平分线定义求出∠MOC和∠NOC的度数，即可求出∠MON．

解：（1）当射线OC位于∠AOB内部时，

∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，∠AOC=100°，∠BOC=30°，

∴∠COM=1/2∠AOC=50°，∠CON=1/2∠BOC=15°，

∴∠MON=∠MOC ∠NOC=50° 15°=65°；

（2）当射线OC位于∠AOB外部时，

∠MON=∠MOC-∠NOC=50°-15°=35°；

所以∠MON的度数是65°或35°．

在线段和角度问题中，如果没有给具体的图形，可能需要分情况讨论。

旋转问题

例题3：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）

（1）当t=3时，求∠AOB的度数；

（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到72°时，求t的值；

（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

分析：（1）利用∠AOB=180°-∠AOM-∠BON，即可求出结论；

（2）利用∠AOM ∠BON=180° ∠AOB，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）分0≤t≤18及18≤t≤60两种情况考虑，当0≤t≤18时，利用∠AOB=180°-∠AOM-∠BON=90°，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；当18≤t≤60时，利用∠AOM ∠BON=180° ∠AOB（∠AOB=90°或270°），即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．

旋转问题考查得较多，这类问题要特别重视，一般会与分类讨论思想和动手操作能力相结合。

探究定值

例题4：如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均指小于平角的角）

（1）图中一定有4个直角；当t=2时，∠MON的度数为144°，∠BON的度数为（）°，∠MOC的度数为（）°．

（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；

（3）当0＜t＜6时，探究7∠COM 2∠BON/∠MON的值，在t满足怎样的条件是定值，在t满足怎样的条件不是定值

分析：（1）根据两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC=∠AOD，可得图中一定有4个直角；当t=2时，根据射线OM，ON的位置，可得∠MON的度数，∠BON的度数以及∠MOC的度数；

（2）分两种情况进行讨论：当0＜t≤7.5时，当7.5＜t＜12时，分别根据∠AOM=3∠AON-60°，列出方程式进行求解，即可得到t的值；

（3）先判断当∠MON为平角时t的值，再以此分两种情况讨论：当0＜t＜10/3时，当10/3＜t＜6时，分别计算7∠COM 2∠BON//∠MON的值，根据结果作出判断即可．

探究定值类问题一般与角度的和差、方程思想相结合，部分问题难度较大。

双角平分线

例题5：如图，已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．

（1）求∠MON的度数．

（2）如果∠AOB=α，∠BOC=β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．

分析：（1）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON=∠BOM ∠BON可求解；

（2）由已知条件求∠AOC的度数，再利用角平分线的定义可求解∠BOM，∠BON的度数，结合∠MON=∠BOM ∠BON可求解。

双角平分线于线段双中点问题类似，处理方法也差不多。

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