自由与有限性（无穷完美抑或缺失）

刘丹亭/文

一

首先我必须坦白，促使我打开大卫·福斯特·华莱士这本数学专著《穿过一条街道的方法：无穷大简史》的，绝不是对数学的热情（这种热情在我身上一丝都没有），而是八卦心理——一位传奇作家写的数学专著！大卫·福斯特·华莱士，受上天眷顾的幸运儿，他掌握了文字和数字两套符号体系，既是“我们这个时代最伟大的美国作家之一”，也是系统接受过哲学、数学和模态逻辑学专业训练的知识精英。

无疑，文字和数字是构建华莱士神秘莫测的精神世界的基石。在他童年记忆里，教授哲学的父亲和身为英语老师的母亲总保持着对知识和语言的敏感：母亲会在“词穷”时自创单词来表达；一次夏日旅行中，父母与华莱士约定，只要提到派这种点心，就要用π的数值3.1415926…来替代。

π是一个无理数，在《穿过一条街道的方法》中，华莱士对于这类以无线不循环的方式抵达无穷的实数有专门论述。对于他，数学就像无处不在的π，向来与他的生活和成长交织在一起。他曾在作品《弦理论》中追忆过自己作为少年网球手的往事，他有很高的网球天赋，这也要归功于他超强的运算能力，他会在比赛中计算网球的运动路线，将比赛视为破解二次函数方程的过程，甚至将风力因素也考虑在其中。数学，在某种程度上是现实经过高度抽象后，呈现在华莱士眼中的镜像。

同样是在《弦理论》里，他写到：“在知道无限小的符号代表铁轨，积分是一种图式之前，我仅靠肉眼观察就可以在这些宽曲线边上发现天地相接处的一块区域。在东部丘陵地带学习数学让人顿悟，它将记忆打碎，重现脑海。微积分确实很像儿时的游戏。”他在笔端重建个人化记忆的同时，将数学定理和知识杂糅其中，令它们参与叙述。它们不仅仅作为理性的知识载体，更承载了个人知觉、感受和潜意识，与文字共同建构出一种双轨的叙事模式。

这种双轨模式也是他标志性的风格之一，它给予他的作品无限张力，以及难以破解的复杂性。他不仅在现实中采撷意象，也借助数学呈现现实背后的那些纯粹、形式的关联。它们构造出一种超越语言的存在，一片理性与虚无交错的无尽无序的荒原。

谁胆敢涉足那片荒原，就必然迷失其中。华莱士自己也不能幸免。

穿过一条街道的方法: 无穷大简史

[美] 大卫•福斯特·华莱士 /著

万有引力 /广东人民出版社

胡凯衡 /译

2021年11月

二

9岁时，华莱士第一次表现出抑郁和焦虑的症状。这种被他母亲称为“牙齿上的黑洞”的问题此后对他一再纠缠。他曾借人物之口说：“迟钝与心灵的痛处相连。”或许正因此，他沉溺于数学和哲学的世界，并认定只有思考才能让自己摆脱脑子里“特别的嗡嗡声”。大学时，他读了品钦的作品，在其中看到了自己的写作之路。

25岁时，他完成了自己的第一部作品，即受维特根斯坦思想启发的《系统的扫帚》，这是一部繁芜丛杂的作品。但它的繁冗和艰涩远比不上华莱士的下一部作品，《无尽的玩笑》。据华莱士回忆，《无尽的玩笑》被编辑删去了近三分之一，但它仍有接近50万字的体量，以至于在新书发布会上，有人开玩笑地问，真有谁读完过全书吗。这部书入选了美国《时代》周刊评选的1923年以来世界一百部最佳英语长篇小说。有评论家盛赞华莱士是“这个时代最伟大的作家之一，具有写出任何东西的才能”。

在《无尽的玩笑》之后，华莱士还出版了多部短篇小说集和散文集。而《穿过一条街道的方法》则是他沉重华丽的桂冠上的另一颗宝石，一本独一无二的数学专著。考虑到华莱士小说阅读的困难程度，或许这本数学专著反倒通俗一些。

“穿过一条街道”这个书名来自古希腊哲学家和数学家芝诺的二分悖论：“你站在一个街角，你试图穿过街道。请注意‘试图’这个字眼，因为在你用尽办法穿过整条街道之前，你显然不得不经过街道的一半，而你经过一半之前，不得不经过一半的一半。而在你经过一半的一半之前，你显然必须经过一半的一半的一半……”这个悖论的实质，是把过街这种我们每天都要完成很多回的活动，分解为无穷多个动作——既然是“无穷”，意思就是这些动作的次数没有终点。于是，一个恐怖的结论出现了：人在逻辑上是过不了街的。

二分悖论的可恶之处，在于成功地把人引入了无穷的迷途。日常生活里，每每无穷这个词出现，总伴随着人们对它的称颂、崇拜，它广博、浩瀚，不受限制，趋近于完美，是人类所不可能企及的。然而，倒映在数学家眼中的无穷，却完全与此背道而驰。就像亚里士多德所言：“无限的本质就是缺失，不是完美无缺而是有限的缺失。”如何去寻找、证明缺失的存在？这看起来是一个不可能完成的任务。华莱士力图在《穿过一条街道的方法》中揭示的，正是数学家们如何以自身的有限去发现（或者说创造，这在数学界一直有争议）无穷的历史。

要追踪无穷在数学史上的踪迹，我们必须跟随华莱士回到古希腊。出人意料的是，热爱数学的古希腊人不仅不欣赏、不崇拜无穷，还对它抱有厌恶、怀疑的态度。在古希腊人参与到数学研究之前，古巴比伦-埃及人就获得了很高的数学成就，但他们对于数学的兴趣完全源自于生活实践，数学于他们是一种解决现实问题的工具。希腊人将数学抽象化了，他们相信，抽象的数学实在完全不同于人类所熟悉的那种经验实在，而数学论证的是和人类可感知的现实与熟悉的经验范畴完全无关的世界，虽然现实世界诸多现象背后也隐藏着纯粹的、形式的数学关系。对此，我们可以这么理解：当面对5个橘子加减的问题时，前人感兴趣的是橘子，而古希腊人感兴趣的则是5。他们不关心可触可感的物，并将数字从具体的特性、感性经验中剥离出来。至此，数学获得了抽象这一本质的特性。

三

然而，即便对于热爱抽象思考的古希腊人，无穷也是极其麻烦的存在，恰如亚里士多德所指出的那样，无穷是一种对于抽象的抽象，一个人需要在头脑里抽象掉所有的有限，才能得到这个代表无穷的符号∞。可当我们试图定义“无穷”的概念时，又发现这是一个更大的问题。

当然，无论是华莱士，还是作为本书普通读者的我们，都不是最先意识到问题所在的人。华莱士在书中提到，亚里士多德早在《物理学》第六卷探讨二分悖论（又来了！）的时候就注意到无穷概念的含混之处，他指出：“长度、时间以及任何连续的东西在两种意义上可以被称为‘无穷’的，即可分性和大小的意义上。”也就是说，无穷既可以意味着无穷大、无穷小、无穷长、无穷短，也可以表示有限之物的无穷可分性。

但不要以为折磨人的无穷至此放过了我们，因为亚里士多德接着又把无穷分成了“实无穷”和“潜无穷”。所以，我们不得不再一次回到二分悖论——如果我们把街道不断地二分，就会出现无数个分割点，这些点作为一个完整的实体存在，这些点的集合就是实无穷。如果我们把每天上午都会出现的“6:54”看成一个集合，我们就必须承认，所有的“6:54”从来没有并存过，这便是潜无穷……

继续探讨这类问题八成会让正在阅读本文的人十分烦躁，但相对于《穿过一条街道的方法》所展示给我们的那个关于“无穷”的浩瀚无际的宇宙，一切麻烦才刚刚开始。虽说古希腊人早已将抽象赋予数学，但直到17世纪，数学才从根本上成为一种来源于抽象而不是来源于现实世界的形式系统。借助这个系统的机制，数学家得以并且敢于真正去触碰∞。

面对人类这种僭越行为，∞必然要加以回击。这个拥有令人连连眨眼的特异外形的怪胎，展示出更多怪诞的难以理喻的面目，想要引人误入歧途。它的反击包括以下这个事实：一个无穷集合的子集含有和这个集合一样多的元素。任何一个神志清醒的人在面对这个事实时恐怕都会感到理性崩塌。∞施加在人类身上的酷刑还没有结束，因为牛顿和莱布尼茨又先后发现了微积分。无穷小量的存在对于微积分来说是不可或缺条件，它的善变令人忍无可忍，计算需要0时它就是0，不需要0时它就大于0。有谁见过比它更没有底线的变色龙、墙头草吗？为了挽救微积分，牛顿为它进行了“有力”的辩解：它不是无穷小量，而是流数，是一个基于时间变量的变化率。但这只是引发了更多的疑惑，以及更多的辩解……

有鉴于此，阅读《穿过一条街道的方法》对于我这样从未被允许踏入过“高数”圣殿的人来说，是痛苦交织着片刻顿悟的神奇体验，也是一场真正的精神冒险。我在华莱士这位知识渊博、头脑敏锐的向导的指引下，前往完全未知的领域，一路上艰险不断，我不知道自己能够走多远——也确实没走太远。当来到华莱士最推崇、最赞赏的康托尔面前时，我的脑子已经乱成一团，完全理不出任何头绪。但我仍庆幸自己鼓起勇气开始了这次旅程，并因此得以窥探古往今来，唯有数学家才被允许凝望的禁忌之景。

我甚至有所领悟——铺设在书中的那条大道不只是二分悖论分割点的集合，也是一条由数学家卓绝的智力所开拓的无形之路。它宛如一条有始而无终的数轴，在书中短暂现身的一位位数学家则是小小的坐标点，他们不能穷尽数轴，也不能抵达数轴的尽头，但他们延展了人类认知的长度，从现实的背面挖掘出一个宏伟的潜在世界。

四

《穿过一条街道的方法》讲解的是潜在的数学世界的故事，是一个纯粹理性世界的概况。但是，从这本无意与个体生命和私人经验发生牵连的著作里，我们仍能拾到一些华莱士生命的碎片。

在全书开篇，华莱士隆重推出康托尔和他的超穷理论，同时免不了提起了数学家们宿命一般的悲剧结局——康托尔性格复杂多变，精神病院是他的终生归宿；哥德尔，死于精神病；波尔兹曼，死于自杀……华莱士引用切斯特顿的话总结道：“诗人不会发疯，但国际象棋选手会；数学家、出纳员会发疯，但有创造力的艺术家很少会。我不是在攻击逻辑——我只是说这种危险不是在想象中，而确实存在于逻辑中。”不过，华莱士马上纠正，危险的不是逻辑，而是令人崩溃的“抽象”，也就是把一切归结到最基本层面的行为，它意味着努力思考对大多数人无法努力思考的事物。而这是令人无法承受的。

或许大多数人安于“有限”和浑浑噩噩的生活，是出于生理上的自我保护机制。华莱士知道数学的危险、思考的危险，并且轻松自如地指出它们，仿佛一切尽在掌握。但这样的明智并没有阻止他自己的人生以惨剧落幕，反而成就了预言和谶语。众所周知，华莱士于2008年在家中自缢身亡，年仅46岁。当时的他并不像他所欣赏的悲剧英雄康托尔那样孤立无援，走投无路——华莱士声誉正隆，还有密切关注他精神状况的新婚妻子。（关于婚姻，华莱士在本书中一条注释里写道： “奇怪的事实：历史上几乎所有伟大的哲学家都未婚。海德格尔是仅有的例外。伟大的数学家大约是一半对一半，结婚率依然低于一般人的水平。对这一点没有令人信服的解释，大家可以自由发挥。”我相信他在这一问题上所做的思考，远不像这条轻飘飘的注释所展现的那般轻松。）而他的人生也没能遵循切斯特顿的论调，因为混入了文学这种普遍认为门槛低、逻辑弱的成分而扭转走向。

华莱士的悲剧告诫我们，数学带来的最大危险不是挂科补考，而是让人迷失在对抽象的执着中永无出路。不过，《穿过一条街道的方法》同样也让我放心了，原来我对数学这一领域最深入的理解也只停留在古代，和令人误入歧途的现代数学隔着阿喀琉斯与乌龟之间的难以跨越的天堑——虽然华莱士在书里运用明示、暗示，大张旗鼓、草蛇灰线地反复预告和铺陈划时代的数学天才康托尔的超穷理论，但等一头雾水的我终于来到那一章时，却遗憾地发现只有和超穷同为超字辈的超人，才能理解这些文字和符号的真正含义。

至少我安全了。这次冒险之旅让我再一次确认，并不是所有人都有幸能被数学带来的厄运所拣选。不幸而幸运的大多数人，终生都不会进入数学中那个完全独立于现实存在的秘境，也不会受到无限的伤害。

合上书，我可以继续过夏虫不可言冰的快乐生活，把可怕的无穷丢在脑后，为自己拥有完美的有限而窃喜不已。