1到100乘积末尾有几个零（数学思考从1连续乘到100）

今天，就来一起探讨这道经典的题：

“1×2×3×4×……×99×100即连续的100个数相乘，积的末尾有几个连续的0”。

那这个题怎么思考？难道要把这些数都乘起来，这的确是个愚公移山的办法，但不够巧妙也比较耗时。

那首先审题，要求的是100个连续的数相乘，末尾连续0的个数。思考一下：什么样的数乘起来末尾有0？

这是乘法算式中一个基本知识，如果乘法算式中的两个因数中，一个含有因数2，另一个含有因数5，则它们的积一定是10的倍数，末尾就有0。

这题的方法当然不唯一，我们先看看容易错误的情况：20个0、21个0等

有同学会先化繁为简，以小见大。先思考连乘个数少的情况，进而寻找规律：

先看看1×2×3……×10，积末尾几个0。这里2×5等于10,10×10等于100。所以有2个0。

再看看1×2×3……×20，积末尾几个0。这里11到20这几个因数中有15和20，找到因数2乘在一起又出现2个0。所以一起有4个0。

再看看1×2×3……×30，积末尾几个0。这里21到30这几个因数中有25和30，找到因数2乘在一起又出现2个0。所以一起有6个0。

……

进入归纳推理，这100个数相乘，分成10组，每组出现2个0，所以1×2×3……×100，积末尾20个0。

也有同学这样分类思考：

这100个数当中，能够和2乘起来出现0的只有5的倍数，而5的倍数特征就是数末尾有5和0。所以找出这些数就可以：

末尾有5:5、15、25、35、45、55、65、75、85、95，一共10个数。

末尾有0:10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，一共10个数。

所以1×2×3……×100，积末尾20个0。或者有同学发现100这个数特殊，有2个0.所以积末尾应该21个0。

其实，上面的错误比较典型。其实学生已经有些思路，但却未注意到同样是5的倍数，但含有因数5的个数是不一样的。我们先理清一些事实：

1.在这100个数当中，含有因数2的数很多，只要是偶数至少含有一个因数2，也就是2的因数个数显然多于5的因数个数。所以到底产生多少个0是有5的个数决定的。有几个5，就可以组成几个5×2，乘积的末尾有几个0。

2.再看看1~100中有多少个5的倍数？

连续自然数中每5个数就会有一个5的倍数。100÷5=20（个），得到一共有20个5的倍数。

但这些5的倍数可以再分分类：

5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100。

含有一个质因数5的数：16个

含有2个质因数5的数：4个

25=5×5；50=5×5×2；75=5×5×3；100=5×5×2×2

25、50、75、100都是25的倍数，有4个。也可以用100÷25=4（或20÷5=4）计算。这四个数也就能分解2个质因数5出来。

所以，虽然只有20个5的倍数，但含有5的因数个数确是：16×1 4×2=24（个）。

或者这样思考：20个5的倍数都能分出一个5，就是20个。但25、50、75、100这四个数还可以再分出一个5，所以共有20 4=24(个）。

所以，积的末尾就有24个0.

现在再看之前的错误，就容易发现错误的原因是未注意25的倍数这四个数，其实能够乘得2个0。所以20、21个0都是错的。

读到这，应该可以独立尝试一题：

“1×2×3×4×……×99×500即连续的500个数相乘，积的末尾有几个连续的0”。

这道题数据从100个数连乘变成500个数连乘，看似变得复杂多，但思路是一样的。但的确又容易出错。

第一步：先求出5的倍数个数：500÷5=100（个）

第二步：在这100个数中，还要筛选出一些数。这些数是25（5×5），125（5×5×5）的倍数。

25的倍数个数：500÷25=20个或（100÷5=20）

125的倍数个数：500÷125=4个或（20÷5=4）

最终，含义因数5的个数一共：100 20 4=124（个），所以积的末尾有124个0。

显然，这题和上题的区别就在于出现125的倍数。否则容易遗漏4个0。

最后，根据之前的分析，再思考以下几个变式的题，期待你的挑战！

题1：“1×2×3×4×……×999×1000即连续的1000个数相乘，积的末尾有几个连续的0”

题2：“1×2×3×4×……×2019×2020即连续的2020个数相乘，积的末尾有几个连续的0”

题3：把若干个自然数1、2、3……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末53位恰好都是0，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最大是多少？

题4:20的n次方是2001×2000×1999×……×1的因数，自然数n最大可以是几？

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