函数凹凸性与二阶导数（函数高阶导数与图像凹凸性）

很多函数在定义域的某个区间内存在导数，自变量与这些导数值的集合之间的映射关系，我们称之为导函数。有些函数的导函数仍然存在导数，我们称之为原函数的二阶导数，二阶导数如果能继续求导，就是三阶导数…，二阶以上的导数，我们统称为高阶导数。

原函数f(x)的一阶导数、二阶导数、…，n阶导数可表示为

函数的一阶导数可用来代表函数图像的增减性，那么二阶导数是否能够在原函数图像中体现出其意义呢？答案是肯定的，实际上，二阶导数代表函数图像曲线的凹凸性。

根据一阶导数的含义，二阶导数是函数一阶导数的导数，代表一阶导数的增减性。函数某点的一阶导数又等于切线的斜率，代表函数图像的增减性。因此，二阶导数代表函数斜率的增减性，体现在图形中就是曲线的凹凸性。二阶导数为正，代表一阶导数单调递增，曲线在此点周围形状为向下凹；二阶导数为负，代表一阶导数单调递减，曲线在此点周围形状为向上凸。

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