有关素数的定理（完全依赖基本论证）

选自quantamagazine

作者：Jordana Cepelewicz

机器之心编译

编辑：陈萍、杜伟

卷起来了！

质数（Prime number），又称素数，指在大于 1 的自然数中，除了 1 和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有 1 与该数本身两个正因数的数）。例如，5 是个质数，因为其正因数只有 1 与 5。

质数作为算术的原子，在数轴上一直占据着特殊的位置。现在，来自牛津大学的 26 岁博士生 Jared Duker Lichtman 解决了一个重要的猜想，他建立了质数特别的另一个方面，在某种意义上，甚至是最优的。目前 Lichtman 在牛津大学跟随 Maynard 攻读博士学位。

具体而言，该猜想为研究者提供了一个更大的背景来理解质数在哪些方面是唯一的，以及它们在哪些方面与更大的数字集合有关。该猜想涉及原始集（primitive sets），在这个集合中，任何数字之间不能进行整除。由于每个素数只能被 1 和它自己整除，所以所有素数的集合就是原始集。

Jared Duker Lichtman

原始集的 Erdős sum 大约是多少

原始集这一概念是由数学家 Paul Erdős 在 1930 年代引入的。当时，这还只是一种工具，Erdős 使用这种工具来证明古希腊某一类数字（称为完全数）。但这一工具很快就成为人们感兴趣的对象 —— 在 Erdős 的整个职业生涯中一次又一次地出现。

原始集的定义很简单，但也有点奇怪，研究者只需知道原始集可以达到多大，就可以捕捉到这种奇怪之处。例如考虑最大为 1000 的所有整数的集合，从 501 到 1000 的所有数字，是集合的一半，这些数字形成一个原始集，因为没有一个数字可以被任何其他数字整除。通过这种方式，原始集占据数轴的很大一部分。但是其他原始集，例如所有素数的序列，就变的非常稀疏。「原始集确实是一个非常广泛的类别，很难直接掌握。」Lichtman 表示。

为了捕捉原始集的这些有趣属性，数学家们研究了不同大小的集合。例如，与其计算一个集合中有多少个数字，他们可能会执行以下操作：对于集合中的每个数字 n，将其代入表达式 1/（n log n），然后将所有结果相加。例如，集合 {2， 3， 55} 的大小变为 1/（2 log 2） 1/（3 log 3） 1/（55 log 55）。

Erdős 发现对于任何原始集，包括无限集，这个和（不同的 1/（n log n）——Erdős sum 总是有限的。无论原始集是什么样子，它的 Erdős sum 总是小于或等于某个数字。因此，尽管这个和至少从表面上看是完全陌生和模糊的，Lichtman 表示，但它在某些方面控制了原始集的一些混乱，使其成为正确使用的量尺。

我们不禁会问 Erdős sum 最大可能是多少。Erdős 推测它是质数的一个，结果约为 1.64。

几十年来，数学家在证明方面取得部分进展，例如，他们表明，这个猜想对于特定类型的原始集是正确的。「尽管如此，在 Jared 开始研究之前，感觉我们并没有真正接近它。」来自英属哥伦比亚大学的 Greg Martin 表示。

Lichtman 于 2018 年开始研究原始集猜想，那是他在达特茅斯学院读本科的最后一年。

2019 年，Lichtman 及其导师 Carl Pomerance 根据乌得勒支大学的数学家 Lola Thompson 的说法，他们发现一个原始集的 Erdős sum 不可能大于约 1.78。Martin 表示，只比质数的猜想大 10% 左右。

Lichtman 和 Pomerance 通过将一个新的倍数序列与给定原始集中的每个数字相关联来获得这个常数。再次考虑原始集 {2， 3， 55}。与数字 2 相关联的是所有偶数的序列，与数字 3 相关联的是所有 3 的倍数，而不是 2 的倍数。与数字 55 （5 × 11） 相关联的是所有 55 的倍数，通常可能将最小素因数为 11 的所有 55 的倍数与它相关联（因为最小素因数为 11，因此不包括所有 2 、 3、5 和 7 的倍数）。Lichtman 将其比作单词在字典中的索引方式 —— 仅使用素数而不是字母来组织每个序列。

Merrill Sherman/Quanta Magazine

然后，他和 Pomerance 思考了这些倍数系列有多「密集」，也即，它们占据了多少数字线。例如，所有偶数序列的密度为 1/2，因为偶数占了所有数字的一半。他们观察到，如果 original set 是原始的，则其相关的倍数序列不会重叠，因此组合密度最多为 1，即是所有整数的密度。

这一观察具有相关性，因为 19 世纪数学家 Franz Mertens 的定理在本质上使得 Lichtman 和 Pomerance 可以根据这些密度重新解释原始集的 Erdős sum。根据 Mertens 定理，一个特殊常数（大约等于 1.78），当乘以一个相当于这些倍数的组合密度的项时，能够给出一个原始集的 Erdős sum 最大值。由于组合密度至多为 1，Lichtman 和 Pomerance 证明了原始集的 Erdős sum 至多在 1.78 左右。

牛津大学数学家、数论教授 James Maynard 教授表示，「这是 Erdős 最初想法的一种变体，但却是一种非常巧妙、简洁的方式，获得了一个不严格但也不算太差的上限。」几年来，这似乎是最好的数学家所能做到的，目前尚不清楚如何将最大值降至 1.64。

证明素数猜想

之后，Lichtman 毕业并前往牛津大学跟随 Maynard 攻读博士学位，在那里主要研究与素数相关的其他问题。Maynard 称，「我知道他一直在思考这个问题，但当他突然想出一个完整的证明时，我完全震惊了。」

Lichtman 首先意识到，对于素因数相对较小的数字，他之前与 Pomerance 的论点依然有效：在这种情况下，常数 1.78 可以被降低到远低于 1.64。

但是，具有素因数相对较大的数字（在某种意义上接近于素数），是另一回事。为了解决这些问题，Lichtman 找到一种方法，实现了每个数字不只是关联一个倍数序列而是多个序列。和之前一样，所有这些序列的组合密度最多为 1。但这一次，这些其他倍数占据了一些空间。

以数字 618（2 × 3 × 103）为例，通常可能将最小素因数为 103 的所有 618 的倍数与它相关联，但可以使用一些被遗漏的较小的素因数来构建序列。例如，一个序列可能由所有原始倍数组成，同时允许被 5 整除的 618 的倍数。

这些额外倍数的存在意味着原始倍数的组合密度（Mertens 定理中使用的数量）实际上小于 1。Lichtman 找到了一种更准确地确定该密度可能为多少的方法。

然后，他仔细地确定了原始集的最坏情况：在具有最大素因数和最小素因数的数字之间取得什么样的平衡。通过将自己的两部分证明拼凑在一起，Lichtman 能够证明这种情况下 Erdős sum 的值小于 1.64。Lichtman 在今年 2 月发表了预印本论文。数学家指出，这项工作非常卓越，因为它完全依赖于基本论证。

论文地址：https：//arxiv.org/abs/2202.02384

现在，这些想法巩固了素数在原始集中的特殊性。

原文链接：https：//www.quantamagazine.org/graduate-students-side-project-proves-prime-number-conjecture-20220606/

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