arctan x求定积分（怎么求xarcsinax）

#创作挑战赛#

老黄前面推导了(arcsinax)^n和(arccosax)^n的不定积分，这回要继续推导x(arcsinax)^n和x(arccosax)^n的不定积分，虽然都只是乘了一个x，但结果却大相径庭。这两个不定积分都是由x^n*sinax的不定积分推导出来的，和x^n*cosax的不定积分无关。

因此先明确一下x^n*sinax的不定积分：

∫x^n*sinaxdx=-∑(i=0->n)n!/((n-i)!*a^(i 1))x^(n-i)*cos(ax iπ/2) C. （1）

这是《老黄学高数》系列视频第256讲推导出来的公式.

下面先推导(arcsinax)^n的不定积分公式：

求∫x(arcsinax)^ndx, n∈N*, a≠0.

原积分=1/(2a^2)*∫t^n*sin2tdt【得到上面的公式(1)的形式】

=1/(2a^2)*∑(i=0->n)n!/((n-i)!∙2^(i 1))*(arccosax)^(n-i)·cos(2arccosax iπ/2) C.

再求(arccosax)^n的不定积分公式：

求∫x(arccosax)^ndx, n∈N*, a≠0.

解：记t=arccosax, 则x=1/a*cost, dx=-1/a*sintdt.

原积分=-1/(2a^2)*∫t^n*sin2tdt【与上面的情况相比，多了一个负号】

=1/(2a^2)*∑(i=0->)n!/((n-i)!∙2^(i 1))*t^(n-i)*cos(2t iπ/2) C

=1/(2a^2)*∑(i=0->)n!/((n-i)!∙2^(i 1))*(arccosax)^(n-i)·cos(2arccosax iπ/2) C.

下面来看两道例题。例1的参数比较小，结果可以展开，用来检验公式的正确性。当然一次检验是不够的。例2参数很大，只能用公式形式做答案。

例1：求∫(xarccosx)^2dx.

解：a=1, n=2,

原积分=1/2*∑(i=0->)2!/((2-i)!∙2^(i 1))*(arccosx)^(2-i)·cos(2arccosx iπ/2) C

=1/4*(arccosx)^2*(2x^2-1)- 1/2*xarccosx√(1-x^2)-(2x^2-1)/8 C.

例2：求∫x(arcsin7x)^77dx.

解：a=7, n=77,

原积分=-1/98*∑(i=0->77)77!/((77-i)!∙2^(i 1))*(arcsin7x)^(77-i)·cos(2arcsin7x iπ/2) C.

最后再来一道练习强化一下，形式和例1非常相似。

练习：求∫x(arcsinx)^2dx.

事实上公式中的x改成x^2，同样可以得到新的公式，但结果可能会很复杂。老黄会继续进行尝试，如果能导出公式，还会和大家分享的。