困扰数学家几百年的数学难题（超级神秘的完全数）

公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯首先发现，有的自然数，具有一种奇异的性质：把它所有的除数（本身不包括在内）加起来，正好等于这个自然数自己。例如，6的除数有1、2、3（6不包括在内），且有　6=1 2 3。又如，28的所有的除数为1、2、4、7、14（28不包括在内），且有28=1 2 4 7 14。象这样的数，我们就称之为"完全数"（"完数"）。"完数"这个名称具有神秘的色彩，意思是"完美的数"。

毕达哥拉斯曾说："6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。"有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。

在中国文化里：有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常（仁、义、礼、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6和28，在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它是一个完全数。难怪有的学者说，中国发现完全数比西方还早呢。

完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样，正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。

但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴颈部上，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。但在茫茫数海中，第五个完全数要大得多，居然藏在千万位数的深处！它是33550336，它的寻求之路也更加扑朔迷离，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。

17世纪，法国数学家、哲学家、物理学家笛卡尔曾经公开预言："能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。"历史也证实了他的预言。完美数稀少而优美，所以被人们称为"数论宝库中的'钻石'"。

同时，也发现完全数有许多奇妙的性质，例如存在一种完全数，就会相应地存在一种把1表示成不同单位分数之和的表达式。比如有完全数6，就有下面的1的单位分数之和的表达式：

同样，有完全数28，就有下面的1的单位分数之和的另一种表达式：

这很好理解。只要把完全数的表达式两边同时除以完全数即可。所以，从完全数的表达式

496 = 1 2 4 8 16 31 62 124 248出发，把它的两边同时除以496，就可以得出：

除此之外，还具有如下特殊魅力的性质：

（1）所有的完全数都是三角形数。例如：6=1 2 3；28=1 2 3 ... 6 7；496=1 2 3 ... 30 31；8128=1 2 3… 126 127。

（2）所有的完全数的倒数都是调和数。例如：1/1 1/2 1/3 1/6=2；1/1 1/2 1/4 1/7 1/14 1/28=2；1/1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/31 1/62 1/124 1/248 1/496=2。

（3）可以表示成连续奇立方数之和。除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如：28=1³ 3^3；496=1^3 3^3 5^3 7^3；8128=1^3 3^3 5^3 …… 15^3；33550336=1^3 3^3 5^3 …… 125^3 127^3。

（4）都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和。不但如此，而且它们的数量为连续质数。例如：6=2^1 2^2；28=2^2 2^3 2^4；496=2^4 2^5 2^6 2^7 2^8；8128=2^6 2^7 2^8 2^9 2^10 2^11 2^12；33550336=2^12 2^13 …… 2^24。

（5）完全数都是以6或8结尾。如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。（科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。）

（6）各位数字辗转式相加个位数是1。除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。例如：28：2 8=10，1 0=1；496：4 9 6=19，1 9=10，1 0=1；8128：8 1 2 8=19，1 9=10，1 0=1；33550336:3 3 5 5 0 3 6=28,2 8=10,1 0=1。

（7）它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1。除6以外的完全数，它们被3除余1，9除余1，还有1/2被27除余1。28/3 商9余1，28/9 商3余1，28/27 商1余1。496/3 商165余1，496/9 商55余1。8128/3 商2709余1，8128/9 商903余1，8128/27 商301余1。

1946年，人们开始利用计算机找完全数，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言："能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。"时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。

2001年11月11日，数学家找到了第39个完全数：

它有8107891位.

到2013年2月6日为止，一共只找到了48个完全数.在无穷的自然数中，到底有多少个完全数？

现在已找出的48个完全数均为偶数，是否存在奇完全数？如果存在，它必须大于10^300。至今无人能回答这些问题。尽管没有发现奇完全数，但当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12^p 1或36^p 9的形式，其中p是素数。在10^300以下的自然数中奇完全数是不存在的。

在探寻完全数的过程中，还有这样一段轶事：

1936年美国联合通讯社播发了一条新闻，《l纽约先驱论坛报》报道说："S.I.克利格(Kireger)博士发现了一个155位的完全数

，该数的各位数字依次是：26815615859885194199148049996411692254958731641184786755447122887443528060146978161514511280138383284395055028465118831722842125059853682308859384882528256.

这位博士说，为了证明它确为完全数，足足奋斗了五年之久."实际上在两千多年前，欧几里德就已经告诉大家是完全数

，其中n是正整数，后经欧拉严格证明，欧几里德的公式是正确的.所以对那些数学狂热者应当心，自己发现的可能是块"旧大陆"，并非新成就.

更惊喜的是，如果一个正整数全部因子（包括它本身）之和等于这个数的某个整数倍，我们就称这个数为多完全数。如120全部因子为

1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。

这些因子之和为360，360正好是120的三倍。所以，120是一个多完全数，而倍数3称为这个完全数的指标。多完全数规律性比完全数差，难以找到一定的公式，只有用计算机来寻找较大的多完全数。

过去，人们竭尽全力只找到大约700个多完全数，其中最大的具有"指标"8。最近美国科罗拉多州的数学家弗雷德·海仑尼乌斯编制了一套计算机程序，将多完全数的个数扩大到了1288个。其中包括14个天文数字的大数，它们的"指标"为9，而最大的数有588位。

据理论研究，对于每一个"指标"，只有有限多个多完全数。 "指标"为3的多完全数只有6个； "指标"为4的多完全数只有36个； "指标"为5的多完全数只有65个。然而"指标"为8的多完全数，已经知道的就有400多个，它们几乎都是海仑尼乌斯发现的。

1644年法国数学家梅森在其所著的《物理数学随感》一书中指出，庞格斯给出的28个"完美数"中，只有8个是正确的，即当P=2、3、5、7、13、17、19和31时，2^(P-1)(2^P-1)是完美数，同时又增加了P=67、P=127和P=257。在未证明的情况下他武断地说：当P≤257时，只有这11个完美数。这就是著名的"梅森猜测"。

"梅森猜测"吸引了许多人的研究，德国数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为是对的；他们低估了完美数的难度。1730年9月，被称为世界四大数学家雄狮之一的欧拉，时年23岁，正值风华茂盛。他出手不凡，给出了一个出色的定理："每一个偶完美数都是形如2^(P-1)(2^P-1)的自然数，其中P是素数，2^P-1也是素数"，并给出了证明。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理，公式2^(P-1)(2^P-1)就成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。

欧拉研究"梅森猜测"后指出："我冒险断言：每一个小于50的素数，甚至小于100的素数使2^(P-1)(2^P-1)是完美数的仅有P取2、3、5、7、13、17、19、31、41和47，我从一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性。"

1772年欧拉因过度拼命工作双目已经失明了，但他仍未停止探究；他在致瑞士数学家丹尼尔的一封信中说："我已经心算证明P=31时，2^30(2^31-1)是第8个完美数。"他的顽强毅力和解题技巧令人赞叹不已。同时，他发现自己过去认为P=41和P=47时是完美数是错误的。欧拉定理和他发现的第8个完美数的方法，使完美数的探究发生了深刻变化，可是人们仍不能彻底解决"梅森猜测"。

1876年法国数学家鲁卡斯创立了一种检验素数的新方法，证明P=127时确实是一个完美数，这使"梅森猜测"之一变成事实；他的新方法给人们探究完美数带来了生机，同时也动摇了"梅森猜测"，因为数学家借助他的新方法发现猜测中P=67和P=257时不是完美数。在以后1883至1931年的48年间，数学家发现"梅森猜测"中P≤257范围内漏掉了P=61、P=89和P=107时的3个完美数。

虽然"梅森猜测"中有错漏，但是梅森在17世纪的欧洲起了一个极不平常的思想通道作用，在学人心目中有着崇高的地位。为了纪念他对科学的贡献，1897年在首届国际数学家大会上(2^P-1)型的素数被命名为"梅森素数"。可以说，只要找到梅森素数，就可以找到与其对应的完美数。

分布式计算技术的出现使完美数的探究如虎添翼。1996年初，美国计算机专家沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用。这就是举世闻名的"互联网梅森素数大搜索"(GIMPS)项目，也是全世界第一个基于互联网的分布式计算项目；该项目主要利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力。美国计算机专家库尔沃斯基于1997年建立了"素数网"(PrimeNet)，使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。人们只要从该项目下载开放源代码的Prime95或MPrime软件，就可以马上寻找梅森素数了。

为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术的发展，总部设在美国的电子新领域基金会(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的"协同计算奖"。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1千万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。但是绝大多数研究者参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

美国加州大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯于2008年首先找到超过1千万位的梅森素数——2^43112609-1，该数有12 978 189位。这一重大成就被著名的《时代》杂志评为"2008年度50项最佳发明"之一。不过，史密斯是私自利用学校的75台计算机参加GIMPS项目的；本来这种行为应该被处罚，但鉴于他为学校争了光，反而受到了校方的表彰。前不久，他获得了EFF颁发的10万美元大奖及金牌一枚。

经过确认，2017年12月26日，美国田纳西州的51岁联邦快递员、曾经干过电气工程师的Jonathan Pac发现了 第50个梅森素数，数值为2^77232917 -1，也就是2的77232917次方减1。

它是一个23249425位数 ，比2016年1月份发现的第49个梅森素数多了接近100万位，可以写满9000页纸，1秒钟写1英寸(2.54厘米)长也要连写54天，整个数字长达37英里(59.5公里)，比第49个长了3英里(4.8公里)。

Jonathan Pac已经加入GIMPS项目（搜索梅森素数的分布式网络计算）寻找梅森素数超过14年， 这次利用自己的一台Core i5-6600电脑，连续运行了六天，才得到这个重大发现 ，并由四个人在五个不同平台上使用四种不同算法进行了验证：

－ Aaron blosser，Intel Xeon服务器，Prime95，37小时。

－ David Stanfill，AMD RX Vega 64显卡，gpuOwL，34小时。

－ Andreas Hoglund，NVIDIA Titan Black显卡，CUDALucas，73小时；亚马逊AWS，Mlucas，65小时。

－ Ernst Mayer，32核心Xeon服务器，Mlucas，82小时。

Jonathan Pac为此获得了3万美元奖金。接下来如果谁第一个发现首个超过1亿位数的梅森素数，将获得15万美元奖金！10亿位数的会奖励25万美元！目前世界上有192个国家和地区60多万人使用超过100万台计算机参与GIMPS项目。迄今为止，人们通过该项目已经找到15个梅森素数，其发现者来自美国（9个）、德国（2个）、英国（1个）、法国（1个）、挪威（1个）和加拿大（1个）。也就是说，有15个完美数是通过GIMPS项目被发现的。全球间接寻找新完美数的"数字游戏"仍在进行中。

值得一提的是，人们在寻找完美数的同时，对梅森素数的重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看，它在正整数中的分布时疏时密、极不规则，因此研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的完美数更为困难。

梅森素数在密码学方面有潜在的应用。现在人们已将大素数用于现代密码设计领域（如公钥加密和数字签名），其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却相对容易得多。在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。

俗话说，"一叶知秋"、"滴水映海"。当我们追溯完美数探究历程之时，可以窥见其探究蕴含着数学家及数学爱好者的辛勤努力，正是由于他们的不懈奋斗，才取得了可喜的进展，并创造了今天的辉煌。

不管有没有奇完美数，我们还有第二个未解决问题：偶完美数的集合是有限的还是无穷的。或者这等于问，是否存在有限或者无穷多个梅森素数。人们在探索中发现，随着多完全数数字的变大，它的分布密度越来越稀疏。它们是否会在正整数中消失呢？这是一个悬而未决的问题。数学的世界是奇妙的，是神秘的，数学的奥秘需要你们去执着地探究，希望你们能热爱数学、研究数学，探索发现数学中的未知之谜。

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