绝对值的几何意义及其运算（绝对值的几何意义）

天津新东方小编今天找到了一个非常有趣的几何绝对值问题解析，就转载了过来！希望同学们能喜欢！

一、绝对值的几何意义：

数轴上，表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．如数a的绝对值记作|a|，表示数a的点与原点的距离．

例如|3|指在数轴上3与原点的距离，这个距离是3，所以3的绝对值是3。同样， |-3|指在数轴上表示-3与原点的距离，这个距离是3，所以-3的绝对值也是3。

动图解析：

绝对值的概念来自于数轴上两点之间的距离，最后抽象为一个非负数，这就决定了绝对值具有几何意义和代数意义，绝对值的本质就是两点间的距离

二、两点间的距离

在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。

但是我们其实可以把|a|看作|a－0|，这样就能表示为数a的点与数0的点的距离．那么|a－5|表示什么呢？千万别说成数a－5的点与数0的点的距离．而应该看成数a的点与数5的点的距离．不能理解的同学，我们就举最简单的例子，数10的点与数5的点的距离是多少，你肯定是知道是10－5，那这里只不过把10换成了a而已，如果a比5小，加个绝对值符号，保证距离的非负性即可，这下你明白了吧．那么|a＋5|表示什么呢？|a＋5|＝|a－(－5)|，表示数a的点与数－5的点的距离．最后，你能说出|a－b|和|a＋b|的几何意义吗？

|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离|

用几何画板动图解析如下：

①a＞0，b＞0和a＞0，b=0时，AB=a-b

②a＞0，b＜0时，AB=a-b

③a＞0，b＜0时，AB=a-b

综上：a＞b时，AB=|a-b|=大数-小数

三、绝对值的典型例题

类型1.绝对值化简求最值

例1．阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．

根据上述材料，解答下列问题：

（1）若|x﹣3|＝|x 1|，则x＝_______；

（2）式子|x﹣3| |x 1|的最小值为______；

（3）若|x﹣3| |x 1|＝7，求x的值．

【解答】（1）根据绝对值的意义可知，此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x 1＞0，

∴原式可化为3﹣x＝x 1，∴x＝1；

（2）根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3| |x 1|有最小值．

∴|x﹣3|＝3﹣x，|x 1|＝x 1，

∴|x﹣3| |x 1|＝3﹣x x 1＝4；

（3）∵|x﹣3| |x 1|＝7，

若x＞3，则原式可化为（x﹣3） （x 1）＝7，x＝9/2；

若﹣1≤x≤3，则﹣（x﹣3） （x 1）＝7，x不存在；

若x＜﹣1，则﹣（x﹣3）﹣（x 1）＝7，x＝﹣5/2；

∴x＝9/2或x＝﹣5/2．

故答案为：1，4，x＝9/2或x＝﹣5/2．

类型2 绝对值知识的实际应用

例2．为了加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车在学校旁边的一条东西方向的公路上执行治安巡逻，如果规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程（单位：千米）为：

2，﹣3， 2， 1，﹣2，﹣1，﹣2

（1）此时，这辆巡逻车司机如何向警务处描述他现在的位置？

（2）已知每千米耗油0.25升，如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升？

【解答】（1）根据题意得： 2 （﹣3） 2 1 （﹣2） （﹣1） （﹣2）＝﹣3．

由此时巡边车出发地的西边3km处．

（2）依题意得：

0.25×（| 2| |﹣3| | 2| | 1| |﹣2| |﹣1| |﹣2| |﹣3|）＝0.25×16＝4，

答：这次巡逻共耗油4升．

类型3 绝对值中数学思想方法

在绝对值的知识点中，蕴含了许多重要的数学思想．

(1)分类讨论思想：绝对值化简时，要根据被化简式子的正负性来分类．

在实际解题时，我们通常要去绝对值符号：根据绝对值符号内的代数式的正负，分情况讨论（一般是分大于0，小于0，等于0几种情况），判断每一个绝对值符号的正负后再把绝对值符号去掉，去绝对值符号要根据绝对值的代数意义来取正负号。

显然，在去绝对值符号时，我们需要具备分类讨论的数学思想。正是由于这点，使绝对值的题型成为刚上初中的同学的一个难点。

例3．已知数轴上点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且AB＝9．

（1）若b＝﹣6，直接写出a的值；

（2）若C为AB的中点，对应的数为c，且OA＝2OB，求c的值．

【解答】（1）∵AB＝9，b＝﹣6，而点A和点B分别位于原点O两侧，∴a﹣（﹣6）＝9，∴a＝3，故a的值为3．

（2）∵OA＝2OB，而AB＝9，∴OA＝6，OB＝3，AC＝4.5，

①若A点在原点左侧，则C点表示的数为﹣6 4.5＝﹣1.5，

②若A点在原点右侧，则C点表示的数为6﹣4.5＝1.5，

故c的值为﹣1.5或1.5．

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(2)整体思想：绝对值化简时，有时需要将被化简式子看作整体．

例4．已知（|x 1| |x﹣2|）（|y﹣2）| |y 1|）（|z﹣3| |z 1|）＝36，求2016x 2017y 2018z的最大值和最小值

【解答】∵|x 1| |x﹣2|≥3，（|y﹣2| |y 1|）≥3，（|z﹣3| |z 1|）≥4，

又∵（|x 1| |x﹣2|）（|y﹣2| |y 1|）（|z﹣3| |z 1|）＝36，

∴|x 1| |x﹣2|＝3，|y﹣2| |y 1|＝3，|z﹣3| |z 1|＝4，

当|x 1| |x﹣2|＝3时，x最小取﹣1，最大取2，

当|y﹣2| |y 1|＝3时，y最小取﹣1，最大取2，

当|z﹣3| |z 1|＝4时，z最小取﹣1，最大取3

所以2016x 2017y 2018z的最大值为：2016×2 2017×2 2018×3

＝14120，

2016x 2017y 2018z的最小值为：2016×（﹣1） 2017×（﹣1） 2018×（﹣1）

＝﹣6051

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(3)数形结合思想：绝对值的几何意义中，结合数轴来了解，更加简单易懂．

例5.回答下列问题：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是_____，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是_____　．

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为_____．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为______ ．

③若x表示一个有理数，则|x﹣1| |x 3|的最小值＝______．

④若x表示一个有理数，且|x 3| |x﹣2|＝5，则满足条件的所有整数x的是______．

⑤若x表示一个有理数，当x为______，式子|x 2| |x﹣3| |x﹣5|有最小值为______．

【解答】①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4，

故答案为：3，4；

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x 2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，

故答案为：|x 2|，|5﹣x|；

③当x＜﹣3时，|x﹣1| |x 3|＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣2，

当﹣3≤x≤1时，|x﹣1| |x 3|＝1﹣x x 3＝4，

当x＞1时，|x﹣1| |x 3|＝x﹣1 x 3＝2x 2，

在数轴上|x﹣1| |x 3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4，故答案为：4；

④当x＜﹣3时，|x 3| |x﹣2|＝﹣x﹣3 2﹣x＝﹣2x﹣1＝5，解得：x＝﹣3，

此时不符合x＜﹣3，舍去；

当﹣3≤x≤2时，|x 3| |x﹣2|＝x 3 2﹣x＝5，此时x＝﹣3或x＝﹣2或0或1或2；

当x＞2时，|x 3| |x﹣2|＝x 3 x﹣2＝2x 1＝5，解得：x＝2，此时不符合x＞2，舍去；

当x＝0时，|x 3| |x﹣2|＝5；

当x＝1时，|x 3| |x﹣2|＝5；

当x＝﹣1时，|x 3| |x﹣2|＝5；

故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；

⑤∵设y＝|x 2| |x﹣3| |x﹣5|，

i、当x≥5时，y＝x 2 x﹣3 x﹣5＝3x﹣6，

∴当x＝5时，y最小为：3x﹣6＝3×5﹣6＝9；

ii、当3≤x＜5时，y＝x 2 x﹣3 5﹣x＝x 4，∴当x＝3时，y最小为7；

iii、当﹣2≤x＜3时，y＝x 2 3﹣x 5﹣x＝10﹣x，∴此时y最小接近7；

iiii、当x＜﹣2时，y＝﹣x﹣2 3﹣x 5﹣x＝6﹣x，∴此时y最小接近8；

∴y的最小值为7．故答案为：3，7．

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绝对值知识的易错点：

1.概念模糊，定义理解不透彻，

如：绝对值是它本身的数是非负数，很多同学潜意识里会认为是正数，这是典型的概念理解不透彻。

2.去绝对值化简，一定要把绝对值内的式子可做一个整体；去括号时，括号前面是“—”号，要变号;

3.在解关于绝对值的未知数时，容易丢解或漏解，最简单的例子|a|=3,a=±3，一定是两个解！

4.与相反数，倒数混淆：绝对值是它本身的数是非负数；相反数是它本身的数是0，倒数是它本身的数是±1。

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