固体物理学大辞典（固体物理晶格动力学1）

固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们可以讨论晶体的很多性质，比如晶体的X光衍射发生的条件，以及固体能带带论，金属电子论等。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。

晶格振动的研究始于固体热容研究，19世纪初人们就通过

Dulong-Petit 定律

认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现。

然而直到20世纪初才由Einstein利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子振动的研究。1912年玻恩(Born，1954年 Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye模型不足，所以1935年Blackman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作。

晶格振动虽是一个十分复杂的多粒子问题，但在一定条件下，依然可以在经典范畴求解，一维原子链的振动就是最典型的例子，它的振动既简单可解，又能较全面地表现出晶格振动的基本特点。

一维单原子链的振动

运动方程：

考虑N个质量为m 的同种原子组成的一维单原子链。设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t 时刻第n 个原子偏离其平衡位置的位移为

为了建立起运动方程，我们首先要对原子之间的相互作用力做些讨论，设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移（例如）后势能发生变化是V(a δ) ，将它在平衡位置附近做泰勒展开：

首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式中的二阶项（δ^2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然，这只适用于微振动，即δ值很小的情况。此时，恢复力：

相当于把相邻原子间的相互作用力看作是正比于相对位移的弹性恢复力。

β称为恢复力常数

如只考虑最近邻原子间的相互作用，第n 个原子受到的力：

于是第n个原子的运动方程可写为：

一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有同样的方程，所以它是和原子数目相同的N个联立的线性齐次方程。

方程的解：这样的线性齐次方程应有一个波形式的解：

A是振幅，ω是角频率，q 是波数，λ是波长，naq 是第n个原子的位相因子，将试解代入方程求解。

这个结果与n 无关，说明N 个方程都有同样结果，即所有原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A在振动，但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是aq 。

该结果还表示：只要ω和q 满足上述关系，试解就是联立方程的解。通常把ω和 q 的关系称作色散关系。

解的物理意义：格波

原子振动以波的方式在晶体中传播。当两原子相距的整数倍时，两原子具有相同的振幅和位相。

ma=na 2*pi*l/q, l为整数

晶体中所有原子共同参与的振动，以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。

从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质弹性波中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取 na格点位置这样的孤立值。

连续介质弹性波：

第一布里渊区里的色散关系：

分立原子集体振动形成的格波与连续介质中的弹性波相比，色散关系发生了变化，偏离了线性关系，而且具有周期性和对称性. 格波的群速度不再等于相速度

格波色散关系：

连续介质弹性波

周期性 对称性

从解的表达式中可以看出：把aq改变2π的整数倍后，所有原子的振动实际上没有任何区别，因此有物理意义的q 取值范围可以限制在第一布里渊区内。, .这就避免了某一频率的格波对应多个波长. 由图明显看出两个不同波长的格波只表示晶体原子的一种振动状态，q 只需要在第一布里渊区内取值即可，这是与连续介质弹性波的重大区别。

这种性质称作格波的简约性。一维单原子链的倒格矢：

3. 周期性边界条件

对于理想晶体,边界与内部的原子是一样的,即理想晶体不考虑晶体边界,没有边界效应。长为L的一维原子链,要作为理想晶体来对待,就要用到周期性边界条件(即循环边界条件或玻恩－卡曼边界条件)。 所谓周期性边界条件是把实际晶体看作是无限的,要求运动方程的解以晶体的长度L=Na为周期,即要求:

这个边界条件的意思是相当于将晶体的首尾相接构成一个圆环,第0个原子与第N个原子重合。（由于N很大，所以每个原子的运动仍然可以看成是直线的）

，即

因此，此边界条件又称为循环边界条件，经过这样处理，边界上原子与晶体内部原子的状态一样，即可把实际晶体当作理想晶体看待。但是，在周期性边界条件下，格波的波矢只能取一系列分立值。q=0， n为整数.

则

在实际的原子链两端接上了全同的原子链后，由于原子间的相互作用主要取决于近邻，所以除两端极少数原子的受力与实际情况不符外，其他绝大多数的原子的运动并不受假想原子链的影响。（从这个意义上讲，选取什么样的边界条件并不是很重要） 玻恩－卡门周期性边界条件是固体物理学中极其重要的条件，因为许多重要理论结果的前提条件是晶格的周期性边界条件。

由此可从q求出ω，由于k值是无限的，相应的应有无穷多简正模式，但实际上在这些简正模式中只有一部分是独立的。即k取边界条件允许的值时，有些格波将对应相同的频率和位移，因此它们是同一个简正模式。

非简谐项：在晶体原子间相互作用势能的展开式中三次方和三次方以上的项（主要是位移的3次项、4次项），与非简谐项有关的物理效应称为非简谐效应，对于热传导、热膨胀等物理现象的了解，非简谐项至关重要。

p在完全简谐振动中，原子间平均的作用力正好抵消，非谐作用部分使势能对r=a并不完全对称，在d<0处，比简谐近似更陡斜，表示作用力变强了，在d>0处，比简谐近似更平缓，表示吸引力减弱了。因此，非谐作用，使得原子在振动时引起一定的相互斥力，从而引起热膨胀等非简谐效应。

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