魏尔斯特拉斯简介（魏尔斯特拉斯）

魏尔斯特拉斯，1815 年10 月31 日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2 月19 日卒于柏林。魏尔斯特拉斯的父亲威廉是一名政府官员，受过高等教育，颇具才智，但对子女相当专横．魏尔斯特拉斯11 岁时丧母，翌年其父再婚．他有一弟二妹；两位妹妹终身末嫁，后来一直在生活上照料终身未娶的魏尔斯特拉斯．由于其父多次迁居，魏尔斯特拉斯上过几所小学．1829 年，他考入帕德博恩的天主教文科中学．该校创建于公元820 年，历史悠久．他成绩优异，年年得奖，在拉丁文、希腊文、德文和数学四科中，表现尤其出色．1834 年夏毕业时，他是获得甲等毕业文凭的三人之一．威廉要孩子长大后进入普鲁士高等文官阶层，因而于1834 年8 月把魏尔斯特拉斯送往波恩大学攻读财务与管理，使其学到充分的法律、经济和管理知识，为谋得政府高级职位创造条件．魏尔斯特拉斯不喜欢父亲所选专业，于是把很多时间花在大学生自由自在的放纵生活上，例如击剑、宴饮、夜游．他在这些方面也是首屈一指的．他的专业兴趣在于数学．当时J．普吕克在波恩执教，但他忙于各种事务，不可能抽暇进行个别教学，所以魏尔斯特拉斯从他那里获益不多。

在校期间，魏尔斯特拉斯研读过拉普拉斯的《天体力学》和C．G．J．雅可比的《椭圆函数新理论基础》．前者奠定了他终生对于动力学和微分方程论感兴趣的基础；后者对他当时的数学水平稍难了些．他还钻研过J．斯坦纳的一些论文．事实上，后来他成为斯坦纳数学论著的编纂者．不过，这段时间中N．H．阿贝尔是他最大的鼓舞泉源．他在晚年致S．李(Lie)的信中曾说，在1830 年的《克雷尔杂志》上读到阿贝尔致A．M．勒让德的信，“在大学生涯中对我无比重要．从确定λ(x)(这是阿贝尔引进的函数)满足的微分方程来直接导出该函数的表示形式，这是我为自己确立的第一个数学课题；我有幸得到了这个问题的解，这促使我下定决心献身数学．我是在第7 学期作出这个决定的．”这就是说，约在1837 年底，他立志终生研究数学．1838年秋，他令人惊讶地放弃成为法学博士候选人，因此在离开波恩大学时，他没有取得学位。

4 年大学，耗费巨大，未得学位而归，自然使父亲极度不满．幸亏父亲的一位爱好数学的朋友出来调解，建议把魏尔斯特拉斯送到明斯特附近的神学哲学院，然后参加中学教师任职资格国家考试．魏尔斯特拉斯遂于1839 年5 月22日在该院注册．他在该院遇见了使他终身铭记的Ch．古德曼．古德曼热衷于研究椭圆函数，其基本思想是把函数展开为幂级数，这正是魏尔斯特拉斯的解析函数论的基石．1839—1840 学年上学期，听古德曼第一堂课的有13 人，可第二堂起只剩下魏尔斯特拉斯一人，师生促膝谈心，相处融洽．古德曼还为这位唯一的学生讲授解析球面几何学。

1840 年2 月29 日，魏尔斯特拉斯报名参加国家考试，考试分笔试、口试两部分．他有半年时间就主考指定的3个论题写作论文．古德曼应魏尔斯特拉斯的请求为笔试出了一个很难的数学问题：求椭圆函数的幂级数展开式．他对自己学生所写的论文给予高度评价，说所提问题对“一位年轻的分析学者来说是很难的”，但论文表明作者“足以列入戴以荣誉桂冠的发现者队伍之中”，“为作者本人，也为科学进展着想，我希望他不会当一名中学教师，而能获得更为有利的条件，……以使他得以进入他命定有权跻身其中的著名科学发现者队伍之中．”可惜学院负责人十分保守，对这一评价未予重视。

1841 年4 月，魏尔斯特拉斯通过口试；1841 年秋至1842 年秋在明斯特文科中学见习一年．1840 至1842 年间，他写了4 篇直到他的全集刊印时才问世的论文“关于模函数的展开”、“单复变量(其绝对值介于给定的两个界限之间)解析函数的表示”、“幂级数论”和“借助代数微分方程定义单变量解析函数”．这些早期论文已显示了他建立函数论的基本思想和结构，其中有用幂级数定义复函数，椭圆函数的展开，圆环内解析函数的展开[早于P．A．洛朗(Laurent)两年]，幂级数系数的估计[独立于A．L．柯西]，一致收敛概念以及解析开拓原理。

1842 年秋，魏尔斯特拉斯转至西普鲁士克隆的初级文科中学．除数学、物理外，他还教德文、历史、地理、书法、植物，1845 年还教体育！繁重的教学工作使他只能在晚上钻研数学．科研条件极差：乡村中学没有象样的图书馆；校内没有可以与之讨论的同事；经济拮据，无力订阅期刊，甚至付不出邮资．或许这对他这样自强不息的人也有好处，可以潜心锤炼自己独特的观念和方法．他曾在学校刊物上发表“关于解析因子的注记”．此文表明以前研究同一问题的数学家未能洞察问题症结何在．但这种刊物上的文章当然不会引起世人注意。

1848 年秋，魏尔斯特拉斯转至东普鲁士布伦斯堡的皇家天主教文科中学．该校拥有较好的图书馆，校长也很友善．魏尔斯特拉斯在该校年鉴(1848／49)上发表了“关于阿贝尔积分论”，这是一篇划时代的论文，可惜仍然无人觉察．1853 年夏，魏尔斯特拉斯在父亲家中度假，研究阿贝尔和雅可比留下的难题，精心写作关于阿贝尔函数的论文．这就是1854 年发表于《克雷尔杂志》上的“阿贝尔函数论”．这篇出自一个名不见经传的中学教师的杰作，引起数学界瞩目．A．L．克雷尔说它表明作者已可列入阿贝尔和雅可比的最出色的后继者行列之中．J．刘维尔称它为“科学中划时代工作之一”，并立即把它译为法文刊载于他创办的《纯粹与应用数学杂志》上．雅可比的继任者、柯尼斯堡大学数学教授F．里歇洛(Richelot)说服校方授予魏尔斯特拉斯名誉博士学位，并亲赴布伦斯堡颁发证书．当时任《克雷尔杂志》主编的C．W．博尔夏特(Borchardt)赶赴布伦斯堡向魏尔斯特拉斯致贺，从此开始了两人长达20 多年的友谊，直至博尔夏特谢世。

1855 年秋，魏尔斯特拉斯被提升为高级教师并享受一年研究假期．1856 年6 月14 日，柏林皇家综合工科学校任命他为数学教授；在E．E．库默尔(Kummer)的推荐下，柏林大学聘任他为副教授，他接受了聘书．11 月19 日，他当选为柏林科学院院士．1864 年成为柏林大学教授．在柏林大学就任以后，魏尔斯特拉斯即着手系统建立数学分析(包括复分析)基础，并进一步研究椭圆函数论与阿贝尔函数论．这些工作主要是通过他在该校讲授的大量课程完成的．几年后他就名闻遐迩，成为德国以至全欧洲知名度最高的数学教授．G．米塔-列夫勒(Mittag－Leffler)于1873 年从瑞典去巴黎，想在Ch．埃尔米特指导下研究分析．可是埃尔米特对他说：“先生，你错了！你应当到柏林去听魏尔斯特拉斯讲课．他比我们都强．”果然，米塔-列夫勒抵柏林后不久就作出了关于亚纯函数的重要发现。

魏尔斯特拉斯于1873 年出任柏林大学校长，从此成为大忙人．除教学外，公务几乎占去了他全部时间，使他疲乏不堪．紧张的工作影响了他的健康，但其智力未见衰退．他的70 华诞庆典规模颇大，遍布全欧各地的学生赶来向他致敬．10 年后80 大寿庆典更加隆重，在某种程度上他简直被看作德意志的民族英雄．魏尔斯特拉斯与C．B．科瓦列夫斯卡娅的友谊，是他后期生活中的一件大事．1870 年秋，年方20，聪慧美丽的科瓦列夫斯卡娅见到了55 岁的魏尔斯特拉斯．后者发现了她的优异天赋，试图说服柏林大学评议会同意她听课，但遭拒绝．于是他就抽出业余时间为她免费授课，每周两次，一直持续到1874年秋．这期间他待她亲如子女，并帮助她以关于偏微分方程的著名论文在哥廷根取得学位．1888 年，科瓦列夫斯卡娅以刚体绕定点运动的研究获得巴黎科学院大奖，对他是极大慰藉．两年后她的去世则是对他的一个沉重打击，以致他烧毁了她写给他的全部信件以及他收到的不少其他书信。

1897 年初，魏尔斯特拉斯染上流行性感冒，后转为肺炎，终至不治，于2月19 日溘然长逝，享年82 岁．除柏林科学院外，魏尔斯特拉斯还是哥廷根皇家科学学会会员(1856)、巴黎科学院院士(1868)、英国皇家学会会员(1881)．魏尔斯特拉斯生前便决定在其学生协助下出版他本人的论著，1894 和1895年分别出版了他的全集的第1，2 两卷．按照他的遗愿，1902 年首先出版了关于阿贝尔函数论的第4 卷，1903 年出了第3 卷．第5 卷是《椭圆函数论讲义》，第6 卷是《椭圆函数论在几何与力学中的应用》，出版于1915 年．1927 年出版了第7 卷《变分法讲义》．原定第8—10 卷是他关于超椭圆函数的工作、《椭圆函数论讲义》第2 版和函数论，但迄今仍未问世．全集前3 卷共收论文(其中有一部分讲演)60 篇．他致P．杜布瓦-雷蒙、L．富克斯和柯尼斯伯格的一些信件，发表于《数学学报》。

数学分析算术化的完成者

魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严格化潮流中，以ε－δ语言，系统建立了实分析和复分析的严谨基础，基本上完成了分析的算术化．然而，由于他是通过课堂讲授完成这一任务的，没有发表有关论著，所以对研究他在这一领域的工作带来了困难。

实数论

魏尔斯特拉斯很早就认识到，为使分析具备牢靠的基础(例如无懈可击地证明连续函数的性质)，必须建立严格的实数论．他于1857 年开始讲授的解析函数论等课程，总要在第一阶段花很多时间阐明他关于实数的理论．为从自然数定义正有理数，他引进正整数的“恰当部分”的概念．数a是数b 的一个“恰当部分”，如果b是由等于a 的一些元素构成的集合．正有理数定义为单位的恰当部分的有限整线性组合，或有限集．通过定义“容许变换”，他使同一有理数的不同表示式得以化归为相同的分母，然后他引进由无穷多个元素构成的集合，通过引进“部分”概念定义这类集合之间的相等．这就是他的无理数概念的基点．由此他定义实数的四则运算与次序关系，证明它们所满足的规律以及实数的十进小数表示式．稍后，H．C．R．梅雷、G．康托尔、R．戴德金以及E．海涅分别于1869，1871，1872，1872 年各自独立地给出了无理数定义，建立了严格的实数论。

ε－δ语言

H．A．施瓦兹、G．黑特纳和G．蒂姆分别整理的魏尔斯特拉斯于1861 年讲授的《微分学》、1874 年讲授的《解析函数论导引》和1886 年讲授的《函数论选题》的笔记，呈现了他用ε-δ语言定义分析基本概念与论证分析基本定理的轮廓．魏尔斯特拉斯说，对于函数f(x)，“如果能确定一个界限δ，使对其绝对值小于δ的所有h 值，f(x h)－f(x)小于可以小到人们意愿的任何程度的一个量ε，则称所给函数对应于变量的无穷小改变具有无穷小改变．”他由此给出函数连续的定义，证明闭区间上连续函数的介值性质和有界性质．在定义微分学基本概念时，他还以

给出导数的另一种定义．他严格证明了带余项的泰勒公式，称它为“整个分析中名副其实的基本定理”．对于函数项级数，他引进了极其重要的一致收敛概念。由此阐述并证明了关于连续函数项级数的和函数的连续性以及函数项级数逐项微分与逐项积分的定理，几乎与现在分析教科书中所写内容完全一致。

在建立分析基础过程中，魏尔斯特拉斯引进了R 与Rn中一系列度量和拓扑概念，如有界集、无界集，点的邻域，集的内点、外点、边界点，集和序列的极限点，连通性等．他证明了有界无限集必有极限点(现称为波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理)，并通过极限点证明了有界数集上、下确界的存在性与数列上、下极限的存在性。

在1886 年的授课中，他还指出G．F．B．黎曼关于定积分的定义限制过多，并把积分概念推广到在一个可数集上不连续的有界函数．这是走向具有完全可加性的现代积分概念的一个正确尝试。

魏尔斯特拉斯的严格性

引进一致收敛概念，是魏尔斯特拉斯的严格性的一个例证．海涅于1869 年说，在此以前，人们(包括柯西在内)对收敛函数项级数可以逐项积分都深信不疑，“是魏尔斯特拉斯先生首次注意到，这条定理的证明……还基于一致收敛性”．G．H．哈代(Hardy)在分析了G．G．斯托克斯(Stokes)、P．L．赛德尔(Seidel)与魏尔斯特拉斯的一致收敛概念后说，“只有魏尔斯特拉斯清楚地、自觉地看出了一致收敛作为分析基本概念的极端重要性”．对于狄利克雷原理的批评，是其严格性的又一例证．该原理断定：

连续函数中，存在使得狄利克雷积分

达到最小值的函数u0(x，y)，而u0必在D内调和，从而是狄利克雷问题的解．

1870 年，魏尔斯特拉斯在柏林科学院发表题为“关于所谓狄利克雷原理”的讲演，一针见血地指出D[u]构成的集具有下确界并不蕴涵在所考虑的函数集中存在u0使D[u0]等于这个下确界．他还举出了一个令人信服的简单例子．给出处处连续但处处不可导函数的例子，也是其严格性的一个突出例证．魏尔斯特拉斯于1872 年在柏林科学院的一次演讲中提出了函数:

​

他于1874年一封信中把这个例子告诉了杜布瓦-雷蒙，后者于次年在《克雷尔杂志》上发表了这个例子，从而引出了以后一系列关于函数具有“反常”性态的发现．魏尔斯特拉斯在分析中的另一重大工作是证明闭区间上的连续函数可以用多项式一致逼近和周期为2π的连续函数可以用三角多项式一致逼近．这两条定理后来有许多广．毫无疑义，魏尔斯特拉斯的严格性最突出的表现是通过ε－δ建立整个分析体系．随着他的讲授和他的学生的工作，他的观点和方法传遍欧洲，他的讲稿成为数学严格化的典范．F．克莱因(Klein)在1895 年魏尔斯特拉斯80 大寿庆典上谈到那些年分析的进展时说，“我想把所有这些进展概括为一个词：数学的算术化”，而在这方面“魏尔斯特拉斯作出了高于一切的贡献”．D．希尔伯特认为：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深遽的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础．通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服了起源于无穷大和无穷小概念的困难．……今天……分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，……本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动．”魏尔斯特拉斯的严格化也遭到一些人反对，最突出的是L．克罗内克(Kronecker)．他对算术化进行了激烈的、刻薄的抨击，甚至否认象处处连续处处不可导函数这样的例子有任何意义。

解析函数论的奠基人

魏尔斯特拉斯以其富有独创性的方法，首次以不依赖于几何直观的严格方式阐述和论证了复变函数论，使这一19 世纪中成就最辉煌的数学分支进入了深入发展的阶段．他在这方面的工作不仅见诸论文，而且更多体现在他讲授的课程中。

解析性、解析开拓与完全解析函数

整函数与亚纯函数

多复变函数论

魏尔斯特拉斯的函数论

魏尔斯特拉斯与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人，但在方法与途径上并不相同．他建立解析函数论的原意是作为他关于阿贝尔积分与阿贝尔函数一般理论的导引．现在看来，他的主要目标反倒退居次要地位，而他的严格的、批判的、犀利的观念，以及他所提供的一般性理论和方法，则成为他对这一领域的主要贡献．在这方面，他与黎曼明显不同．黎曼以狄利克雷原理为基础建立他的著名的映射定理，而魏尔斯特拉斯对狄利克雷原理的批评使这个原理和黎曼强有力的方法几乎一蹶不振．直到1899 年，希尔伯特的工作才使它们得以“复活”．在谈到黎曼面时，魏尔斯特拉斯说他“不能接受这是函数论真正基础”的提法，虽然他也承认这种方法“具有数学想象力”．在一般方法论上，他说：“我越是思考函数论——这是我不断研究的领域——的各种原理，就越确信它必须建立在简单的代数真理的基础上；谁如果不是把它建立于简单而基本的代数命题，而是借助于‘直觉’(我用这个词来概括描述)，谁就走上了歧路，不管乍一看它多么有吸引力，例如黎曼那样，他通过这种方法发现了代数函数那么多重要的性质．”不过他也强调在研究时可以采用多种渠道，他讲的“只是关于应当怎样建立系统的理论基础问题”．克莱因在比较这两位数学家时说过：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家．……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进．在他工作的分支中，他力图达到确定的形式．”H．庞加莱写道，魏尔斯特拉斯使“整个解析函数论成为幂级数理论的一系列推论，因而它就被建立在牢靠的算术基础上”，“黎曼的方法首先是一种发现的方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法”．到19 世纪末，德文“Funktionenlehre”几乎已成为按照魏尔斯特拉斯的观念建立的复变函数论的同义词，但也有人持有异议．S．李(Lie)批评德国没有象样的几何学家，他把这种状况归咎于魏尔斯特拉斯学派占据统治地位．克莱因在肯定算术化同时也强调数学决不会由逻辑推导完成，直观总是具有特殊重要性．康托尔甚至提出人们应当区别魏尔斯特拉斯实际所做的工作与围绕着他树立起来的神话。

在数学其他领域中的贡献

椭圆函数论与阿贝尔函数论

变分法

代数

魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型为平方和给出了一般方法．他建立了矩阵的初等因子理论，实际上比C．若尔当早两年给出了现称的若尔当标准形；他完成了二次型理论并把它推广到双线性型．他于1861 年得到了关于线性结合代数的一个基本结果(发表于1884 年，)：具有有限个原始单元的实或复线性结合代数，如果满足乘积定律和乘法交换律，就必是实数构成的代数或复数构成的代数(戴德金约于1870 年得到同样结果，并于1885 年发表)。

卓越的大学数学教师

刻苦钻研、严谨治学

如前所述，在当中学教师的15 年中，尽管教学任务繁重，工作条件很差，魏尔斯特拉斯仍坚韧不拔、孜孜不倦地钻研数学，经常达到废寝忘食的程度．例如一天早上，他该去上课的教室中起了骚动，校长走去一看，原来是教师未到．校长赶快去魏尔斯特拉斯的寝室，发现他还在烛光下苦苦思索，根本不知道天色早已大明．1850 年起，他患了眩晕症，常持续一小时以上，直到一阵摧人心肺的呕吐后才见消退．这种脑痉挛症折磨了他十余年，但他顽强地坚持教学和研究．实际上，在当中学教师年代，他是以牺牲健康为代价从事数学研究的．他在柏林大学仍承担巨大的教学工作负荷．1860 年3 月，在一次讲课中他突然晕了过去．1861 年底他完全病倒，在近两年中一直未能回到科学工作上来．他患有支气管炎和静脉炎，经常发作．但只要有可能，他就坚持上课，常常只能坐着讲授，让优秀学生书写黑板．他总是推迟发表自己的工作，倒不是因为厌恶发表，而是力求以崭新的途径，使结论建立在牢固的基础上．他反复推敲自己的观念、理论和方法，直到他认为已达到它们理应具有的自然完美的方式为止，所以他正式发表的论文数量并不多．魏尔斯特拉斯富有诗才．他曾说过，如果一个数学家不是某种程度上的诗人，他就永远不会成为一个完整的数学家．但有点奇怪的是，不像很多数学家喜欢音乐一样，他讨厌音乐．他是天主教徒，但在宗教观点上不走极端。

无与伦比的大学数学教师

魏尔斯特拉斯是古往今来最出色的大学数学教师之一．从1856 年至1890年的68 个学期中，他每学期都有课，其中约有1/4 的学期每周授课2 门8 学时；约有一半学期讲授2 门课程．他讲授的课程计有：椭圆函数论，椭圆函数论在几何和力学中的应用，阿贝尔函数论，解析函数论，变分法，几何学，函数论选题，用幂级数表示解析函数，分析引论，积分学，行列式及其应用，双线性型和二次型，齐次函数论，解析几何学，数学物理，分析力学，分析光学．从1861 年5 月起，他还与库默尔一起创办了柏林大学第一个数学讨论班，此后持续不断，讨论他们开创的新观念和新理论．当然，重要的不在于上了多少课，而在于培养的学生的状况．大学教学的目的是培育善于思考、富于创造力的人才．在这方面，魏尔斯特拉斯的成功可以说是无与伦比的．他善于用一种不可言传只能意会的精神激发学生的兴趣和创造欲．他讲课时不夸大其辞、哗众取宠．他关心学生，循循善诱，慷慨地指给学生论文课题，在讨论班上不断提出富有成果的想法，使之成为学生研究的主题，甚至把自己尚未发表也未留纪要的手稿借给学生，而有的学生拿去后竟不再归还．魏尔斯特拉斯的受到学生高度推崇的讲授并非一蹴而就而是长期磨炼形成的．开始时，他讲的课比较混乱，有时令人费解．后来，他的课越讲越好，新的思想朴实无华自然而然地涌现，使他讲授新理论的名声传遍全欧，听课人数激增．1869 年讲阿贝尔函数，注册时为107 人，但后来听众竟达250 人，不少人只得席地而坐．在他的学生(包括参加讨论班的人)中，后来有近100 位成为大学正教授．考虑到当德国大学正教授的难度，这实在是一个惊人数字．他的学生中有一大批后来成为知名数学家，其中有P．巴赫曼(Bachmann)、O．博尔查(Bolza)、F．恩格尔(Engel)、G．弗罗贝尼乌斯(Frobenius)、K．亨泽尔莱因、W．基灵(Killing)、克内泽尔、柯尼斯伯格、科瓦列夫斯卡娅、M．莱尔赫(Lerch)、F．默滕斯(Mertens)、H．闵科夫斯基(Minkowski)、米塔-列夫勒、E．内托(Netto)、A．普林斯海姆(Pringsheim)、C．龙格(Runge)、F．朔特基(Schottky)、施瓦兹、O．斯托尔茨(Stolz)等．也有少数人批评说，在魏尔斯特拉斯讨论班上，绝大多数参加者把他的理论奉为圭臬，很难发表不同意见．克莱因就说过他与李在讨论班上常不得不为捍卫自己观点而战斗．龙格说，魏尔斯特拉斯在其连续性课程中“自下而上地构筑了完美的数学大厦，其中任何想当然的、未经证明的东西没有立足之地”．这是对魏尔斯特拉斯讲授的一个很好的概括。

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