圆周运动知识点及公式总结（从匀速圆周运动到虚指数）

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如果您发现本文有任何错误，文字或者叙述错误，请务必教我。

本鸡的理念是，学数学必须理解，理解只能考类比。

本文将从最容易的匀速圆周运动开始，用初等的几何和物理，辅以一条熟知的导数公式，推出虚指数表达式，并且理解虚指数的性质。先把答案撂这里：虚指数就是匀速圆周运动轨迹的表达式。强调一下，本文不是证明；本文的套路也不是本鸡发明的，是在读书的过程中获得的体会和实操经验。---希望你能模仿着写一下，画一画

没有晦涩的证明和推导，只说人话，没有废话，来啊。

现在，你肯定能写出一条三角恒等式：

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现在，再轻松画一个圆周：

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插句废话（其实不是），角theta，单位弧度----其实没有物理意义上的单位。你想，圆周长公式不就是s=2πr吗？但是，左边s是长度，右边半径也是长度，所以π还敢有单位，两边就不平衡了。弧度角是纯几何的，其意义是弧长与直径的比率，所以π叫圆周率。

再插句废话，你心里要永远想着一件事，这个平面是复平面：描述复数，可以用箭头，直角坐标，极坐标。先写个直角算了：

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用直角坐标或者极坐标记法，圆周上的每个点就是

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刚才画的那个圆，圆周半径是1，也就是极坐标里面的极径r=1。不管怎么样，圆周可以说成是它上面的点的集合。圆周代表运动轨迹，就是让点沿着圆周走，当然，方便的就是极坐标（角被强调了）。实际上，复数用极坐标做乘除法是非常方便的，这其实说明了为什么物理和工科喜欢极坐标写法。

现在，必须也只需让角随着时间均匀变化，装模作样画几个时刻的点（位置），就是

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现在注意匀速应该有

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既然角严格与时间成比例，所以omiga的单位是（角）频率--时间的倒数--代表角增加的速度的大小，就是运动的快慢。这样一来，咱圆方程和坐标记法就是

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现在明摆着，如果用复数的直角坐标记法，就可以这样写

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如果令w=1，这件事没有任何的改变，所以，你可以看懂

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现在，重点来了。务必弄清楚一件事：速度方向是运动轨迹的切线方向，永远垂直于半径--半径的角 π/2。牢牢记住这一点。好，现在装模作样的，又画了几笔

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还有一件事，就是圆周运动速度的大小肯定是不变的。也牢牢记住这一点。再回忆一下，导数可以理解为速度。因此这两件事合起来，想法就是，如果用复值函数来描述圆周运动，

理解了----下面一小段读不懂本文就对你没用了-----

函数自变量是时间（因为你要描述运动），函数值是复数（圆周轨迹上的动点）。函数的导数（速度）恰好是函数自己乘以虚数单位i（因为速度垂直于半径，而半径就是特定时刻表示位置的复数--就那个箭头；因为要匀速，所以大小不变）。------看一眼直角就知道，虚数单位i的角是π/2，所以一个复数乘以i，i就是保持其大小不变，角增加π/2

现在指定初速度是i-----话句话，1和i垂直------就是最开始的位置的速度，那么t时刻的速度，也就是导数可以写成

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（如果你取初速度为iw或者任意其他值，过程都是类似的，指定初值是解微分方程的必要）

现在如果i是实数的话，那么上面的式子完全类似于

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现在形式上（事实上也的确如此），就应该

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因此必须有

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回忆一下z的直角坐标，就有

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常见的写法是

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你立刻可以写出传说中最美公式，

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虚指数函数的2π-周期性是明摆着的；虚指数几乎遍及所有的物理和工科。当年被卡的欲哭无泪啊。

再次感谢阅读！希望帮到你了

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