最难的动态平衡的解题法（动态平衡问题解题技巧）

一、动态平衡问题的判别

1.共点力的判别

同时作用在同一物体的各个力的作用线交于一点就是共点力。

2.动态平衡的判别

处于平衡状态的物体，某力发生变化，其它力也随之变化，但物体仍处于平衡状态，典型关键词——“缓慢转动”、“缓慢移动”……

☞注意匀速移动不一定处于平衡状态。

☞缓慢移动动能几乎为零，忽略不计，重力势能可能是会变化的。

二、动态平衡问题力的处理

图解法：作受力分析图，线段长短代表力的大小。

解析法：列出力的函数表达式并求解。

三、匀速移动和缓慢移动

如果物体做直线运动，匀速移动是处于平衡状态；但是做曲线运动，匀速移动就不是处于平衡状态，因为还有向心力，只不过切向力为零而已，物体处于非平衡状态，匀速并且速度很小，可以认为向心力趋近零，当作平衡状态。

四、分类剖析

类型一：平行四边形合成法

例：如图所示，

重物的质量为m，轻细绳AO和BO的A端、B端是固定的.平衡时AO是水平的，BO与水平方向的夹角为θ.AO的拉力F₁，BO的拉力F₂.将作用点B沿水平方向向右缓慢移动，点位置不动条件下，点B移动过程中（AD）

A.F₁一直变小

B.F₁先变小后变大

C.F₂一直变大

D.F₂一直变小

类型二：动态三角形法

1.半变力

一个力大小方向均确定(恒力)，一个力方向确定大小不确定(半变力)，另一个力大小方向均不确定(待定力)。

例：如图是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图.

使用时用撑竿推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上.撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑竿足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，该过程中撑竿对涂料滚的推力和涂料滚对墙壁的压力将（）

A.增大，增大 B.减小，减小

C.减小，增大 D.增大，减小

解法1：解析法

FN=mgtanθ，F=mg/cosθ

解法2：图解法，如上图。

例2：如图，

弹性轻绳一端固定于O点，另一端连有一质量为m的小球a，小球a通过不可伸长的细绳连接质量相同的小球b，两小球均处于静止状态.现给小球b施加一个力F，使弹性轻绳与竖直方向成30°角，两球依然保持静止.下列说法正确的是（BC）

A.弹性绳的长度一定增加

B.a、b间细绳上的张力可能减小

C.力F的值可能大于mg

D.力F的值可能小于mg

解析：研究对象的选取，先整体后隔离。

例：如图所示，

物体甲放置在水平地面上，通过跨过定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为Ff，则该过程中（）

A.Ff变小，F变大

B.Ff变小，F变小

C.Ff变大，F变小

D.Ff变大，F变大

例：如图所示，

在绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向的夹角为α，且保持其平衡.保持α不变，当拉力F有最小值时，F与水平方向的夹角β应是（C）

A.0 B.π/2 C.α D.2α

☞最小值原理法

例：如图所示，

两个小球a、b质量均为m，用细线相连并悬挂于O点，现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为θ＝45°，已知弹簧的劲度系数为k，则弹簧形变量不可能是()

2.普通三角形

一个力大小方向均确定，另外两个力大小、方向均变化，但会受到一些约束。

例：如图所示，

建筑工人要将建筑材料送到高处，常在楼顶装置一个定滑轮（图中未画出），用绳AB通过滑轮将建筑材料提到某一高处，为了防止建筑材料与墙壁碰，站在地面上的工人还另外用绳CD拉住材料，使它与竖直墙面保持一定的距离L。若不计两根绳的重力，在建筑材料匀速提起的过程中，绳AB和CD的拉力F₁和F₂的大小变化情况是（A）

A.F₁增大，F₂增大

B.F₁增大，F₂不变

C.F₁增大，F₂减小

D.F₁减小，F₂减小

☞根据角度的约束作出封闭三角形，比较边的长短变化。

3.等腰三角形

一个力大小方向均确定，另外两个力大小相等。

☞通常用在轻绳张力处处相等的活结问题上。

对整体分析：

对b分析：

类型三：辅助圆法

圆的特征：半径不变，可以代表力的大小不变；圆周角不变，可以代表两力夹角不变。

1.一个力大小方向均确定(恒力)，一个力大小确定但方向不确定(半变力)，另一个力大小方向均不确定(待定力)。

利用圆的半径不变，适合力的大小不变。

例：已知两个共点力的合力为50N，分力F₁的方向与合力F的方向成30°角，分力F₂的大小为30N。则（）

A.F₁的大小是唯一的

B.F₂的方向是唯一的

C.F₂有两个可能的方向

D.F₂可取任意方向

例：在共点力的合成实验中，如图，

用A、B两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置O，这时两绳套AO、BO的夹角小于90°，现在保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使α角变小，那么要使结点仍在位置O，就应该调整弹簧秤B的拉力的大小及β角，则下列调整方法中可行的是（）

A.增大B的拉力，增大β角

B.增大B的拉力，β角不变

C.增大B的拉力，减小β角

D.B的拉力大小不变，增大β角

【解析】

研究对象为结点O

2.一个力大小方向均确定(恒力)，另两个力大小方向均不确定，但是两个力的方向夹角保持不变。

利用圆周角不变，适合两力夹角不变。

例：如图所示，

柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α＞90°）.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中（AD)

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

例：如图所示装置，

两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ＝120°不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力F₁、CB绳的拉力F₂的大小变化情况是（BCD)

A.F先变小后变大

B.F先变大后变小

C.F₂一直变小

D.F₂最终变为零

解法1：解析法--正交分解(略)

解法2：解析法--正弦定理(略)

解法3：图解法--辅助圆

例5：如图所示，

柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α＞90°），现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中（AD)

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

解法1：解析法--正弦定理

解法2：解析法--辅助圆法

类型四：相似三角形法

物体受到三个公点力作用而处于平衡状态，这三个力一定能构成一个封闭三角形，称为力三角形，力三角形和几何三角形相似，对应边成比例。

☞封闭三角形是普通三角形，想到用相似三角形法。

例：如图所示，

小球A、B带电荷量相等，质量均为m，都用长L的绝缘细线挂在绝缘的竖直墙上O点，A球靠墙且其悬线刚好竖直，B球悬线偏离竖直方向θ角而静止，此时A、B两球之间的库仑力为F。由于外部原因小球B的电荷量减小，使两球再次静止时它们之间的库仑力变为原来的一半，则小球B的电荷量减小为原来的（C）

A.1/2 B.1/4 C.1/8 D.1/16

变式：如图所示，

是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物.现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前()

A.BC绳中的拉力FT越来越大

B.BC绳中的拉力FT越来越小

C.AC杆中的支撑力FN越来越大

D.AC杆中的支撑力FN越来越小

☞研究对象是结点。

类型五：正弦定理法

例：如图所示，

柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α＞π/2）.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中（AD)

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

先组成力的封闭三角形，再用正弦定理。

mg/sin(π-α)=F/sinθ=T/sin(α-θ)

⇒F=mgsinθ/sinα

⇒T=mgsin(α-θ)/sinα

例：如图所示，

光滑的四分之一圆环AB竖直放置，环上穿有两个用细线连接的小球1和2。初始时小球2在B点，现给小球1施加一个始终沿小球1所在处切线方向的外力F，使整个系统缓慢上升，直至小球1到达A点，对于该过程下列说法正确的是（）

A.细线中拉力逐渐变小

B.小球1所受合外力逐渐变小

C.小球2所受的支持力逐渐变大D.外力F逐渐变大

类型六：正交分解法

例：如图所示，

物体Q放在固定的斜面P上，Q受到一水平作用力F，Q处于静止状态，这时Q受到的静摩擦力为f，现使水平力F变大，物体Q仍静止，则可能（A、D）

A.f一直变大

B.f一直变小

C.f先变大，后变小

D.f先变小后变大

例：如图所示，

人的质量为M，物块的质量为m，且M＞m.若不计绳与滑轮的摩擦，则当人拉着绳向右跨出一步后，人和物仍保持静止，则下列说法中正确的是（D）

A.地面对人的摩擦力减小

B.地面对人的摩擦力不变

C.人对地面的作用力不变

D.人对地面的作用力增大

例：如图所示，

OA为遵从胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连。当绳处于竖直位置时，滑块A对地面有压力作用。B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度，现有一水平力F作用于A，使A向右缓慢地沿直线运动，则在运动过程中（）

A.水平拉力F保持不变

B.地面对A的摩擦力保持不变

C.地面对A的摩擦力变小

D.地面对A的支持力保持不变

类型七：数理(几何)结合法

受几何约束，绳长约束等类型往往需要与几何结合。

例：如图所示，

在竖直放置的穹形光滑支架上（上部为半圆形，左右竖直）一根不可伸长的轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点（B点是穹形支架的最高点）沿支架缓慢地向C点（C点与A点等高）靠近。则绳中拉力大小变化的情况是（）

A.先变大后不变

B.先不变后变大

C.先不变后变小

D.先变小后变大

例：如图所示，

水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ（0＜μ＜1）.现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动.设F的方向与水平地面的夹角为θ，在θ从0°逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（A）

A.F先减小后增大

B.F一直增大

C.F一直减小

D.F先增大后减小

☞还可以用全反力法

类型八：等效法

例：如图所示，

一只蚂蚁从一半球形碗底沿碗内表面缓慢向上爬，已知球面半径为R，蚂蚁与碗的内表面的动摩擦因数为μ＝√3，它可以爬的最大高度为___。

☞把碗面等效为倾角变化的斜面。

例：如图所示，

为某粮库输送小麦的示意图。麦粒离开传送带受重力作用在竖直方向上掉落后，形成圆锥状的麦堆。若麦堆底面半径为r，麦粒之间的动摩擦因数μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不考虑麦粒的滚动。则形成的麦堆的最大高度为_rμ__。

类型九：合并力

1.恒力合并

物体受力有两个恒力，这两个恒力可以合并成一个力。

恒力合并仍然是恒力，相当于等效重力。

例：如图所示，

晾晒衣服的绳子两端分别固定在两根等高的竖直杆上，绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦均忽略不计。原来衣服竖直静止，一阵风吹来，衣服受到水平向右的恒力而发生滑动，并在新的位置保持静止。则相比原来，在新的位置时（C）

A.挂钩左右两边绳的拉力不再相等

B绳的拉力一定不变

C绳对挂钩作用力变大

D绳对挂钩作用力不变

2.全反力

滑动摩擦力和压力(弹力)成正比，合并后方向不变(半变力)，大小可以变化，称为全反力。

例：如图所示，

质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成a角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止。

（1）当α为多大时，F有最小值，求此时α的大小及F的最小值；

（2）当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？

3.同一施力物体的力合并

弹力和摩擦力往往是同一物体施加的，可以合并。

例：如图所示，

物体在沿粗糙斜面向上的拉力F作用下处于静止状态.当F逐渐增大到物体即将相对于斜面向上运动的过程中，斜面对物体的作用力可能（AD）

A.逐渐增大

B.逐渐减小

C.先增大后减小

D.先减小后增大

类型十：三力汇交

物体受三个力作用而处于平衡状态，三力作用线必定交于同一点。

☞作用点不同，无转动情况下，可通过力的平移使力交于同一点。

例：两条不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端分别固定在金属直杆AB的两端，已知金属杆的质量为m，且分布均匀，当地的重力加速度为g，平衡时∠OAB＝60°，∠OBA＝30°，则轻绳OA的拉力大小为FA，轻绳OB的拉力为FB的大小分别为

（B）

例：如图所示，

质量为m的匀质细绳，一端系在天花饭上的A点，另一端系在竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C点，现测得AC段绳长是BC段绳长的n倍，且绳子B端的切线与墙壁的夹角为α.试求绳子在C处和在A处的弹力分别为多大？（重力加速度为g）.

例：如图所示，

轻绳AC一端固定在墙上，另一端拴在轻杆的右端，杆的左端顶在竖直墙上，杆处于水平，轻绳与杆之间的夹角为30°，一质量为m＝10kg的物用绳悬挂在杆的中点，整个装置处于平衡，求：

（1）轻绳AC段的张力的大小；

（2）墙对杆的作用力.

类型十一：异面力

物体受到不在同一平面上的力而处于平衡状态，这些力在任意同一平面上的分力(投影)合力为零。

例：如图所示，

A、B为竖直墙面上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆，转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面内，∠AOB＝120°，∠COD＝60°，若在O点处悬挂一个质量为m的物体，则平衡后绳AO所受的拉力和杆OC所受的压力分别为（）

类型十二：匀速与缓慢

例：如图所示，

质量相等的小球A、B用轻杆连接，小球B用不可伸长的细线悬挂在墙壁上的O点，小球A在竖向上的力F作用下，从图示位置（∠ABO＝90°）开始沿竖直光滑墙壁向上移动，直至轻杆水平，整个过程细线始终处于绷紧状态。下列说法正确的是（）

类型十三：极限法

例：筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。筷子在先秦时称为“”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”。如图所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，为使小球静止，求每根筷子对小球的压力的取值范围。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ（μ＜tanθ），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。

例：课堂上，老师准备了“L”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按图所示（截面图）

方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为（A）

A30° B.45° C.60° D.90°

☞当左边两圆柱的圆心连线在竖直方向上，上圆柱只受到两个力的作用恰好处于平衡状态，此时上圆柱与右圆柱间相互接触且无弹力，此时θ有最大值，为30°，故A正确。

例：竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带有同种电荷，用指向墙面的水平推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙面和水平地面上，如下图所示。

如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较（CD）

A.推力F变大

B.坚直墙面对小球A的弹力变大

C.地面对小球B的支持力不变

D.两个小球之间的距离变大

【解析】对A、B由整体法知地面对小球B的支持力大小等于系统的重力，而推力F与墙面对A的支持力FA保持平衡。运用极端法，即考虑把B推到墙角时的状态，再隔离A，易知B对A的库仑力竖直向上即与A的重力平衡，可见此时支持力F为零，故与原来的平衡状态相比较支持力F变小，推力F将变小。在其他情况下库仑力需平衡A的重力和支持力F，因此库仑力将减小，因其电荷量不变，故由库仑定律知两个小球之间的距离变大。需要说明的是并非任何问题都可用极端法求解，换句话说极端法的使用也是要讲条件的。极端法有时会结合极限法使用，即在区间的端点处求最值，这要求其函数呈单调变化。因此，对非单调变化的函数应慎用极端法。具体地说，当题目问及某力“先增大后减小”、“先减小后增大”时可能就无法使用极端法。

类型十四：力矩平衡法

转动平衡，指在一个转动轴上受到几个力的同时作用下转动轴处于静止状态或匀速转动，此时各力的力矩代数和为零。即∑M=0。

例：如图所示，

柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α＞π/2）.现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变.在OM由竖直被拉到水平的过程中（AD)

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

以O点为转轴，T的力矩为零，力矩平衡。

mgL₁sinθ=FL₁sin(π-α)=FL₁sinα

⇒F=mgsinθ/sinα

θ↗⇒F↗

再以O′点为转轴，F的力矩为零，力矩平衡。

TL₂sin(π-α)=mgL₂sin(α-θ)

⇒T=mgsin(α-θ)/sin(π-α)

T=mgsin(α-θ)/sinα

T先↗后↙

例：一个质量为m＝50kg的均匀圆柱体，放在台阶的旁边，台阶的高度h是柱体截面半径r的一半，如图所示是柱体横截面，A点是过P点直径的另一端点，与台阶接触点（图中P点所示）是粗糙的。现要在图中柱体上A点施加一最小的力，使柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚动，则所施加的力F大小为___，台阶对柱体的作用力Fp大小为___。

【分析】要将圆柱体拉上高台，则圆柱体以P点为轴转动，要想施加的力最小，则应使所加外力的力矩最大，即外力与AP的边线垂直，之后由力矩平衡条件可求得所施加的外力。

选取P点为转轴，Fp的力矩平衡，圆柱体重力的力矩与外力F的力矩平衡，要使F尽量小，F的方向应与AP垂直，这样F对P点的力臂最大，如下图所示：

以P为转轴，算出F的大小为√3mg/4，然后分别以O′、A、点为转轴，根据力矩平衡，算出支持力大小为mg/2，摩擦力大小为√3mg/4，Fp大小为√7mg/4。

或者取圆柱体为研究对象，由受力分析可知这三个力必为共点力，由力的平衡条件即可求得台阶对柱体作用力大小。

类型十五：虚功原理(略)

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