三角形全等的最全辅助线做法（基本图形分析法）

【分析方法导引】

当几何问题中出现了直角三角形斜边上的中点时，就应想到要应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质进行证明。接下来就应将斜边上的中线添上。进一步的分析就是：若斜边上的中点是条件，则直接推得斜边上的中线等于斜边的一半，并可直接应用两等腰三角形推得角之间的等量关系。若斜边上的中点是要证明的结论，则应转而证明要证相等的这两条线段都和这条斜边上的中线相等，也就是转化为等腰三角形的判定问题或者也就是证明角相等的问题。进一步也就是应用线段相等与角相等之间的等价关系来完成分析。

当几何问题中出现了线段之间的倍半关系，且倍线段是直角三角形的斜边时，就应想到要应用直角三角形斜边上的基本图形进行证明。接下来就应将斜边上的中线添上，得到这条斜边上的中线等于斜边的一半，和相应的角之间的等量关系和倍半关系，问题就转化成要证明问题中出现的倍半关系中的半线段与这条斜边上的中线相等。

当几何问题中出现了两个角之间的倍半关系，且其中的半角是一个直角三角形的锐角时，就可想到要应用直角三角形斜边上的中线的基本图形进行证明。接下来的问题也是将斜边上的中线添上，然后可应用两个等腰三角形的顶角的外角等于底角的两倍的性质来完成分析。

例9 如图3-220，已知：△ABC中，M是BC的中点，AX是过A的一直线，BE⊥AX，CF⊥AX，垂足分别是E、F。求证:ME=MF。

图3-220

分析:本题条件中出现BM=CM，且BE⊥AX，CF⊥AX，所以BE∥FC，这是过BC的两个端点所作的平行线，所以可添加中心对称型全等三角形进行证明。添加的方法是将过端点的平行线与过中点的直线相交，于是延长EM交CF于G(如图3-221)，即可证明△BME≌△CMG，EM=GM。又因为已知∠EFG=90°，这样就出现了M是直角△EGF的斜边EG的中点，从而就可以直接应用直角三角形斜边上的中线的基本图形的性质证明ME=MF(如图3-222)。

图3-221

图3-222

在将过端点的平行线与过中点的直线相交时，也可以延长FM交BE的延长于G(如图3-223)，那就可证明△BGM ≌ △CFM，GM=FM，而∠FEG=90°，所以也可以直接应用直角三角形斜边上中线的性质证得ME=MF。

图3-223

本题要证明ME=MF，这是两条具有公共端点M的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形。而要证明这个等腰三角形，也可以应用等腰三角形中重要线段的基本图形的性质进行证明。于是首先应将等腰三角形中的这条重要线段添上，也就是作MH⊥EF，垂足设为H(如图3-224)，则证明ME=MF就可以转化为要证EH=FH。而由MH⊥EF，又可以得MH∥CF∥EB，这样就出现了MH是△DCF(可设AX交BC于D)内一条边CF的平行线段，所以可应用平行线型相似三角形进行证明，于是由MH∥CF，可得△DMH∽△DCF，DH/FH=DM/CM，而由MH∥EB，可得这也是两条平行线段，且它们四个端点两两的连线在D点相交，所以又可应用平行线型相似三角形的基本图形的性质进行证明。于是由MH∥EB，可得△MHD∽△BED，DH/EH=DM/BM，但已知BM=CM，所以有DH/FH=DH/EH，从而就可证明EH=FH，分析也就可以完成。

图3-224

例10 如图3-225，已知：C是半圆O的直径AB上的一点，CD⊥AB交半圆于D，以AC、BC为直径分别作半圆O1、半圆O2，EF是两半圆的外公切线，且与CD相交于G。求证：CD、EF互相平分。

图3-225

分析:由条件AB、AC、BC分别是半圆O、半圆O1和半圆O2的直径，所以半圆O1和半圆O2在C点外切，而已知CD⊥AB，可得CD是半圆O1和半圆O2的内公切线，从而就可以在每一个半圆中，应用弦切角的基本图形的性质得∠GEC=∠GCE，∠GFC=∠GCF，GE=GC和GF=GC，这样就出现了一个直角三角形斜边上的中线的基本图形，也就是可得∠ECF=90°(如图3-226)。

图3-226

由结论CD、EF互相平分，可得四边形ECFD应是一个平行四边形，而由∠ECF=90°，可得这个四边形应是一个矩形，从而∠EDF也应等于90°，但由于∠EDF是一个圆周角，而这个圆周角现在是直角， 所以应用半圆上的圆周角的基本图形的性质可得DE、DF的延长线应分别经过直径的端点A和B，因此问题实质上就是要证明A、E、D共线和B、F、D共线(如图3-227)。

图3-227

而要证明这两组三点共线，我们可以直接连接AD，BD且设分别与半圆O1和半圆O2相交于E′和F′，然后证明E′和F′就是E点和F点。由条件AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，所以∠ADB=90°，根据同样的道理，连结E′C、F′C后，有∠AE′C=90°，∠BF′C=90°，从而可得∠DE′C=∠DF′C=∠E′DF′=90°，四边形DE′CF′是矩形，所以∠F′DC=∠F′E′C。又因为已知DC⊥AB，就出现了DC是直角△ABD的斜边AB上的高，从而就可以应用直角三角形斜边上的高的基本图形的性质得∠A=∠BDC，这样就进一步推得∠F′E′C=∠A，于是就可应用弦切角的基本图形的性质得到F′E′与△CE′A的外接圆，也即与半圆O1相切于E′。同样的道理也可以证明E′F′与半圆O2相切于F′，也就是E′F′与半圆O1和半圆O2的外公切线，切点分别是E′、F′，所以E′和F′分别与E、F重合。而CD和E′F′是互相平分的，所以EF和CD互相平分也就可以证明。