材料力学外伸梁挠度计算图（挠性板弯折的数值分析方法）

现阶段航空航天领域产品轻量化、小型化、集成化的趋势愈来愈明显，这对电路印制板结构、尺寸和可靠性的要求越来越高。刚挠结合印制板将传统PCB 板与尺寸更小、安装方式更加灵活的挠性板结合在一起，不仅提高了电子系统连接的可靠性，还使得结构设计方式更加简单、可靠。挠性板作为刚挠结合印制板的中间连接部件，制造工艺决定了其自身的刚度、强度等力学性质，然而在实际使用中挠性板往往存在弯折情况，特别是直角弯折和翻转弯折，导致局部应力过大进而造成其失效。

挠性板的长度设计需为弯折预留足够的操作空间，还应使弯折到位后板内的应力尽量小，特别是挠性板与PCB板连接处，以及挠性板弯折曲率最大处。利用有限元分析软件可以方便地计算挠性板弯折的位移、变形、应力以及连接处的弯矩、剪力等情况，但无法系统地给出各力学参数随挠性板长度变化的曲线，不便于在设计之初给出合适的设计参数。

一种典型的挠性板翻转弯折如图所示。图中两块PCB板平行放置，其右侧端面重合，中间由等宽等厚的均匀挠性板连接，挠性板自由弯曲变形。

挠性板为线弹性变形，采用材料力学中梁弯曲时的中性层假设，认为该层的长度在弯曲时无变化，截面内水平方向应力相同，将问题简化为二维受力问题，挠性板的受力情况如图所示。图中A、B点为挠性板中性层曲线的两端点，C 点为曲线顶点，挠性板在两端点处收到弯矩和剪力的作用，挠性板总长为L，弯折后AB跨度为D，曲线高度为H。

由于挠性板自由变形，其变形具有对称性，且X方向的外力为零。只取上半部分AC段进行分析，将坐标原点取为A点，曲线上坐标为X的一点P的受力如图所示。

取力和力矩的正方向与坐标轴正方向相同且满足右手法则，由力和力矩平衡可知：

FP =-FA及MP= FAx-MA。即曲线上各点的剪力相同，且力矩为：

挠性板视为均一的线弹性材料，同时算例中梁的跨度远大于截面高度，因此根据材料力学中

梁的挠曲线方程，可得：

式中，E 为挠性板材料的弹性模量，I为截面的惯性矩，矩形截面宽度为b，高度为h，则有I=bh3/12。曲线二阶导数 y″与力矩 Mx符号相同，根据力矩方向定义，若Mx >0（即力矩为逆时针方向），此时曲线具有上翘（下凸）趋势，对应的二阶导数 y″>0。注意到AC段的末端必然向内弯曲，即斜率为负且迅速减小，可知此处的力矩必然为负值。将式（1）代入式（2）中，整理得：

已知x0=0，y0=0，y′0=0，上式可用数值积分的方法求取曲线的一阶和二阶导数，进而求得曲线方程。积分方法可选择欧拉法或四阶Runge-Kutta法，后者具有更高的求解精度，且计算量不大，本文选择后者进行求解，递推公式如下：

利用 MATLAB 软件编写计算程序，考虑到曲线末端斜率增加很快，采用变步长算法来减小计算误差。计算时以终点的斜率作为终止的条件，阈值取为-50 000。积分求解时需确定FA和MA的数值，为方便初值选取，考虑到此时挠性板受纯弯矩作用时其曲率理论上为常数，即弯曲曲线为半径为 R的圆弧，则有：1/R=MO/EI，同时取 F0=MO/R。挠性板长度为 L，

则FA和MA的取值定义为：

为验证数值分析结果的有效性，本文用ANSYS Workbench软件对相同模型进行了有限元求解，仿真参数设置同前。得到挠性板弯折至跨度30和 20 mm时的变形和应力情况，如图中所示。

取挠性板中间层的变形曲线与数值积分结果，由跨度为 30 和 20 mm 时的结果对比如图 可见，两条变形曲线非常吻合，对应点处误差最大值在 0. 2mm 左右，越接近弯折顶点 C（积分末端）误差越大。通过减小积分步长可提高积分精度，减小误差。

跨度为 5～50 mm 时两种方法计算的弯矩和剪力结果对比见表2。两种方法的计算结果较为一致，剪力的误差基本在0. 024 N以下，弯矩的误差基本在0. 504 N·mm 以下，在两端处误差较大；剪力和弯矩的相对误差基本在 9% 以下。剪力相对误差最大出现在跨度为 40 mm 时（接近圆弧弯曲），此时剪力数值非常小，较小的误差值引起了较大的相对误差。

两种方法的误差来源有：

第一，积分算法（特别是弧长）的递推公式；（2）积分步长的选择；（3）初始参数的间距；（4）对弯矩和变形方程的简化。后续可从以上几方面入手提高数值算法的计算精度。

基于数值积分的结果进一步分析各参数的关系，如图中所示。

可以看出：

首先，曲线高度H随跨度D增加逐渐减小；

其次，KM和KF数值随跨度D增加单调增 加且斜率迅速增大；

再次，KM和 KF呈正相关关系（实际上该曲线即图5中的长度条件曲线）。采用多项式拟

合的方式可以获得各参数的近似关系表达式，可应用于后续数值积分的优化，以提高仿真结果的精度。挠性板弯折曲线的形状与剪力和弯矩符号之间的关系如图中所示。

可知：

其一，若FA>0，必然有MA>0，否则不满足曲线的构型，此时有D>2R；

其二，若FA=0，必然有MA=M0，此时有D=2R；（

其三，若 FA< 0，且 MA≥0，此时 D<2R，且曲线完全内缩无外扩段；

其四，若FA<0，且MA<0，此时D<2R，且曲线存在外扩段（二阶导数先正后负），跨度临界值为 27. 44 mm。4种状况下跨度依次减小，高度逐渐增加。

在实际应用中，可以首先根据工程实际需求得到挠性板所需要的初始长度与跨度，然后利用数值仿真根据挠性板的力学性质下以及长度与跨度关系来判断其所承受的剪力与弯矩的方向和数值大小，再以剪应力或正应力为优化目标，在合理的约束下选取一系列可行的长度与跨度参数，最后得到同时兼顾操作工艺性和应力要求的挠性板构型。

本文首先对挠性板弯折进行受力分析，然后基于梁的挠曲线方程，将弯矩和剪力作为自变量，利用四阶 Runge-Kutta 方法计算了挠性板翻转弯折的曲线构型，最后利用曲线长度和跨度反算来确定弯矩和剪力的数值，仿真计算得到的结论如下：

其一，将数值积分结果与 ANSYS Workbench的有限元仿真结果相对比，发现两种计算方法得到的挠性板变形曲线非常吻合，弯矩和剪力数据非常接近；

其二，基于数值积分结果进一步分析弯矩、剪力与挠性板弯折曲线的跨度、高度间的关系，指出参数符号与弯折曲线构型间的关系，对工程设计具有一定的借鉴意义。

本文发展的数值积分方法可推广应用于挠性板的其他弯折情况，如直角弯折或特定角度弯折。由（a）H-D（b）KM、KF-D （c）KM-KF于支撑反力的增加，自变量数量增加，需要有合适的优化方法配合计算。

总之，利用有限元软件对相同模型在同一条件下进行模拟分析。将数值计算与有限元分析结果对比，发现两者变形曲线非常吻合，弯矩和剪力数值精度满足实际工程需求。基于上述数值计算方法，可以对挠性板弯折的各种参数进行分析和预估，对实际工程应用具有重要的指导意义。