立体几何组合折纸（折纸中的数学和艺术）

直到遇到折纸，我被折纸吸引，我已经折叠几年了，虽然我仍然不是这门艺术的大师，但我想与他人分享至少一部分。折纸是科学与艺术之间经常被忽视（虽然很频繁）的交集的一个很好的例子。模块化的折纸更倾向于数学方面，但实际上（在视觉上和理论上）漂亮的几乎无限多种形状的潜力也是相当艺术的。上面显示的大多数模型都是多个相交形状的复合体，这才是真正展示艺术的地方。

在这一指导中，我将仅讨论一种模块化的折纸：由Ow单元制成的线框。线框为2-d或3-d形状，其中仅边缘被固化，留下敞开的面。我将解释的单位（模型中的各个模块）或多或少最初是由弗朗西斯·奥（Francis Ow）概念化的。

为了使您能够提出新的模块化结构，我将介绍有关多面体和组成它们的多边形的一些理论，解释如何折叠Ow单元以及如何将设计调整到各种角度以使不同多边形，然后为您提供一些图片和构想，以使您走得更远。

让我们开始吧！所有你需要的是：

-纸：折纸纸比较好，但是打印机纸通常可以正常工作

-剪纸刀或剪刀（除非您要折痕和撕裂，否则不会很漂亮）

-时间（越多越好）

步骤1：多面体

多面体：多面体是3D几何形状。它们是由2D几何形状的多边形（gon-角/角）构建的。多面体是根据面的数量和类型，其对称性以及如何构造来命名和分类的。

可能最基本的组是柏拉图固体（全部由相同的规则多边形组成，如上图所示）。它们是四面体，六面体，八面体，十二面体和二十面体。另一个常见的组是“阿基米德实体”，它们全部由相同的顶点组成，但具有多种面（两种或多种正多边形）。其中有13个（取决于确切的定义-有关更多信息，请参阅后续页面），显示在第二个渲染中。还有其他几个组，但是这些分组不太常用。

上述分组仅适用于具有规则多边形面的多面体；当然，不规则多边形多面体以及不规则折线，规则多边形多面体的理论无限性是可能的，但由于Ow方法的尺寸和互锁性的限制，只有更简单的方法才能用Ow方法构造给定的模型。

步骤2：多边形

许多模型是由规则多边形制成的多面体构成的，这些可能是最容易理解的。这是因为根据定义，规则多边形的内角相等。因此，使用公式可以轻松确定这些角度

θ=（180（n-2））/ n

当θ是一个内角，而n是侧面/角度的数量。

仅当已知所有边或边与角的充分混合时，才能计算不规则多边形的角。一旦将给定的多边形分解为三角形，就可以使用多种三角技术来计算各个角度。所有角度仍将合计为180（n-2），但是，如果已知所有其他角度，则只能用于发现一个剩余角度。为了确定折叠复合模型中的单元所需的纸张长度，必须知道组成每个多面体的多边形的边长，并且要增加一定的长度，因为在锁定机制中会用尽一些长度。稍后将讨论用于计算该量的方法。

步骤3：折叠

Ow单元通常折叠在纸条的末端。因此，单元的长度（多边形的合成边的长度）与连接机构的大小无关，该连接机构的大小取决于条带的宽度（取决于条的“厚度”）。线框模型中的“线”或边。

因此，我只是在一个单元的一端进行演示，而不是展示整个过程：

1. 从一张纸开始，最后隐藏面朝上
2. 纵向对折
3. 展开
4. 纵向折叠每侧至中心线
5. 展开
6. 口袋的折叠角度，对于等边三角形（如上图所示），从中心线折叠右上角，直到拐角点位于纸张左侧的1/4行上。查看图片
7. 沿最右边的1/4线反向折叠襟翼。如在展开视图中看到的那样，这将创建折痕线，并将最右边的纸张拉回到中心线1/4
8. 在纸张的另一端重复步骤，导致第一端闭合，如倒数第二张图像所示
9. 将单元对折，使纵向开口的缝隙在内侧。这会在粘在中心线上的口袋部分产生折痕

第4步：单元组装

要将两个单独的单元锁定在一起：

1. 握住单元，使一个单元的翻盖/展开角指向另一单元的口袋
2. 稍微打开口袋，将第一个单元完全滑开（以使单元的中心线重合）
3. 沿中央折边压接第二个单元，将两个单元锁定在一起。

一旦了解了单元及其连接，从角度到闭合的多边形再到多面体的跳转就不难了。请记住，在完整的模型上，在单元接合处形成的每个顶点都应被完整的单元环包围，且没有多余的襟翼或口袋（见图）。根据相交的多边形的角上的角度，在单个顶点上可能会存在两个到五个可能相交的单元。

步骤5：几何概念总结

如何改变这些角度以产生任何多边形？

分析内部60°角是如何产生的，可以在装置停止锁定在一起之前将任何角度折叠到大约140°。口袋的反向折叠使用了中心线和最左边的四分之一线的参考点，这些参考线用于按底数1和斜边2的比例折叠三角形。

θ=正弦^ -1（1/2）= 30° 这在第一个图像中显示。

接下来，按照我的蓝色思维过程箭头，30°的角度可以几何地延续到中心线和襟翼边缘之间的角度。由于这是直角三角形中的一个角度，因此我们可以从中顺时针找到该角度，因为我们知道三个角度中的两个以及角度之和：

180°-90°-30°= 60°

这可以延续到中心线和反向折叠之间的角度，从而形成口袋的底部。

在第三张图片中，我将组装的两个单元从上一步翻转过来，因此口袋仍在单元的右侧。可以看出，右单元的边缘沿反向折叠位于左单元的口袋中。我们已经发现的红色角度可以延续到两个单元之间的角度。因此，两个单元之间的夹角为60°，即等边三角形角的内角。

向后进行类似的推理，可以根据需要为其他角度找到足够准确的参考折痕。折叠单元是两个不同形状的多边形之间的共享边（例如，存在于阿基米德实体中），对于折叠单元来说，必须理解由袋角决定单元之间的角度。一点点的三角学，几何操作，可写的地方和实践，将使您轻松生成各种规则和不规则的多边形，以制成多面体。

制作多面体的化合物时，精确的单位长度对于使最终模型紧密贴合非常重要。在计算产生给定长度的边缘所需的纸张矩形的尺寸时，请记住以下锁定机构的假象。任何超过折角与中心线交叉的位置的纸张（如上图所示）都不会影响边的长度（在进行折叠后，这在直觉上很明显）。因此，对于精确的边长，有必要找出要在单元末端截断的量，并将其添加到原始纸张尺寸上。

步骤6：完成

这只是模块化折纸的一种，正如您在上面看到的，它用途广泛。

如果您有疑问，请在评论部分中提问，我将尽力提供帮助。

,