等腰三角形的顶角和底角怎么算（构造等腰三角形的常用方法）

几何图形中添加辅助线往往能把分散的条件集中起来，使隐蔽的条件显现，将复杂的问题简单化，

在解题的过程中有时需要构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质从而使问题迎刃而解 .

本节主要来介绍下常用构造等腰三角形的方法 .

方法一 作 “平行线” 来构造等腰三角形

1.如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于点 F，

且 DF = EF .

求证：BD = CE .

证明：过点 D 作 DG∥AE，交 BC 于 G 点，则 ∠GDF = ∠E .

∵ ∠GDF = ∠CEF，∠DFG = ∠EFC，DF = EF ,

∴ △DGF ≌ △ECF（ASA），

∴ GD = CE .

∵ AB = AC ,

∴ ∠B = ∠ACB，

∵ DG∥AE，

∴ ∠DGB = ∠ACB，

∴ ∠DBG = ∠DGB，

∴ GD = BD ,

∴ BD = CE .

2.已知 △ABC 为等边三角形，点 D 为 AC 上的一个动点，点 E 为 BC 延长线上一点，且 BD = DE .

（1）如图 ①，若点 D 在边 AC 上，猜想线段 AD 与 CE 之间的关系，并说明理由；

（2）如图 ②，若点 D 在 AC 的延长线上，（1）中的结论是否还成立，请说明理由 .

解：

（1）AD = CE .

理由如下：过点 D 作 DP∥BC，交 AB 于点 P .

∵ △ABC 是等边三角形，

∴ △APD 也是等边三角形，

∴ AP = PD = AD , ∠APD = ∠ABC = ∠ACB = ∠PDA = 60°，

∵ DB = DE ,

∴ ∠DBC = ∠DEC，

∵ DP∥BC，

∴ ∠PDB = ∠DBC .

∴ ∠PDB = ∠DEC .

又 ∵ ∠BPD = ∠A ∠ADP = 120°，∠DCE = ∠A ∠ABC = 120°，

∴ ∠BPD = ∠DCE .

在 △BPD 和 △DCE 中，

∠BPD = ∠DCE，∠PDB = ∠CED，DB = DE ,

∴ △BPD ≌ △DCE（AAS），

∴ PD = CE，

∴ AD = CE ;

（2）（1）中的结论成立 .

理由如下：过点 D 作 DP∥BC，交 AB 的延长线于点 P .

∵ △ABC 是等边三角形，

∴ △APD 也是等边三角形，

∴ AP = PD = AD , ∠APD = ∠ABC = ∠ACB = ∠PDC = 60°，

∵ DB = DE ,

∴ ∠DBC = ∠CED .

∵ DP∥BC，

∴ ∠PDB = ∠DBC，

∴ ∠PDB = ∠CED .

在 △BPD 和 △DCE 中，

∠P = ∠DCE，∠PDB = ∠CED，DB = DE ,

∴ △BPD ≌ △DCE（AAS），

∴ PD = CE ,

∴ AD = CE .

方法二 利用 “三线合一” 构造等腰三角形

3.如图，在 △ABC 中，BP 平分 ∠ABC，且 AP⊥BP 于点 P , 连接 CP .

若 BC = 4，点 P 到 BC 的距离为 1，求 △ABC 的面积 .

解：延长 AP 交 BC 于点 E .

∵ BP 平分 ∠ABC，

∴ ∠ABP = ∠EBP .

∵ AP⊥BP，

∴ ∠APB = ∠BPE .

在 △APB 和 △EPB 中，

∠ABP = ∠EBP，BP = BP , ∠BPA = ∠BPE，

∴ △APB ≌ △EPB（ASA），

∴ S△ABP = S△BPE，AP = PE .

∵ △APC 与 △PCE 等底同高，

∴ S△APC = S△PCE，

∴ S△ABC = S△ABP S△BPE S△APC S△PCE = 2 S△BPC，

∵ BC = 4，点 P 到 BC 的距离为 1，

∴ S△BPC = 1/2 × 4 × 1 = 2，

∴ S△ABC = 2 × 2 = 4 .

4.如图，已知 △ABC 是等腰直角三角形，∠A = 90°，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，CE⊥BD，

交 BD 的延长线于点 E .

求证：BD = 2 CE .

证明：延长 BA , CE 交于点 M .

∵ CE⊥BD，

∴ ∠BEC = ∠BEM = 90° .

∵ BD 平分 ∠ABC，

∴ ∠MBE = ∠CBE .

又 ∵ BE = BE ,

∴ △MBE ≌ △CBE（ASA），

∴ EM = EC = 1/2 MC .

∵ △ABC 是等腰直角三角形，

∴ ∠BAC = ∠MAC = 90°，AB = AC ,

∴ ∠ABD ∠BDA = 90° .

∵ ∠BEC = 90°，

∴ ∠ACM ∠CDE = 90° .

∵ ∠BDA = ∠CDE，

∴ ∠ABD = ∠ACM .

在 △ABD 和 △ACM 中，

∠ABD = ∠ACM，AB = AC , ∠BAD = ∠CAM，

∴ △ABD ≌ △ ACM（ASA），

∴ DB = MC，

∴ BD = 2 CE .

方法三 利用 “倍角关系” 构造等腰三角形

5.如图，在 △ABC 中，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，且 ∠ABC = 2 ∠C .

求证：AB BD = AC .

证明：在边 AC 上截取 AP = AB，连接 PD .

∵ AD 平分 ∠BAC，

∴ ∠BAD = ∠PAD .

在 △ABD 和 △APD 中，

AB = AP，∠BAD = ∠PAD，AD = AD ,

∴ △ABD ≌ △APD（SAS）.

∴ ∠APD = ∠B，PD = BD .

∵ ∠B = 2 ∠C，

∴ ∠APD = 2 ∠C .

又 ∵ ∠APD = ∠C ∠PDC，

∴ ∠PDC = ∠C，

∴ PD = PC ,

∴ AB BD = AP PC = AC .

方法四 利用 “截长补短法” 构造等腰三角形

6.如图，在 △ABC 中，∠BAC = 120°，AD⊥BC 于点 D，且 AB BD = DC , 求 ∠C 的度数 .

方法一：截长法

如图，在 CD 上截取点 E，使 DE = BD，连接 AE .

∵ AD⊥BE，DE = BD，

∴ AB = AE .

∵ AB BD = DC ,

∴ AE DE = DC .

又 ∵ DE CE = DC ,

∴ CE = AE = AB .

∴ ∠B = ∠AED = ∠C ∠CAE = 2 ∠C .

∵ ∠BAC ∠B ∠C = ∠BAC 3 ∠C = 180°，∠BAC = 120°，

∴ ∠C = 20°；

方法二：补短法

如图，延长 DB 至点 F，使得 BF = AB，则 AB BD = BF BD = DF = CD ,

∴ AF = AC , ∠C = ∠F = 1/2 ∠ABC .

∵ ∠BAC ∠ABC ∠C = ∠BAC 3 ∠C = 180°，∠BAC = 120°，

∴ ∠C = 20° .

7.如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 △ABC 外一点，且 ∠ABD = 60°，∠ACD = 60° .

求证：BD DC = AB .

证明：延长 BD 至点 E，使得 BE = AB，连接 AE , CE .

∵ ∠ABE = 60°，BE = AB ,

∴ △ABE 为等边三角形，

∴ ∠AEB = 60°，AE = AB .

又 ∵ ∠ACD = 60°，

∴ ∠ACD = ∠ABE .

∵ AB = AC , AB = AE ,

∴ AC = AE ,

∴ ∠ACE = ∠AEC，

∴ ∠DCE = ∠DEC，

∴ DC = DE ,

∴ AB = BE = BD DE = BD DC ,

即 BD DC = AB .

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