数列的极限有关知识点（高等数学1）

极限是同学们从高中数学过渡到高等数学的第一个需要学习的概念。

那么什么是极限呢？

下面举几个例子。

1.有一天你捡到了一块金条，但你发现每过一分钟，金条的长度就少了1/2，随着时间的推移，金条的长度会逐渐趋近于0，但永远不会等于0。

2.高速公路上的小型客车的最高行驶速度是每小时110公里。

3.我对你的忍耐已经到了极限。

简单的说极限就是变量在一定的变化过程中，因变量无限趋近于一个值。

通过以上对极限概念的简单阐述，相信同学们都已经对极限有了大致的了解，下面我们一起来开启新世界的大门吧！

第一章 极限

（1）数列极限的定义

首先，我们来观察一个简单的数列

由函数图像我们可以发现当n趋于 ∞时，Xn趋于0，我们记为

那么我们要怎么用数学语言证明数列{Xn}的极限是0呢？

首先，两个数的接近可以用两个数的绝对值之差来衡量，即|b-a|越小，b越接近a。

于是我们只要证明：对∀ ε>0, |Xn-0|<ε ,

即无论ε是一个多么小的值，数列{Xn}总能给出一个比ε还要小的值。

按照以上理论：

由此，我们可以引出数列极限的一般定义：

设数列{Xn}为一数列，如果存在常数a，对任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时， 不等式|Xn-a|<ε恒成立。（注：也称数列{Xn}收敛于a,若这样的a不存在，则说数列是发散的）

最后出一个例题来加深下同学们的印象：

分析：即证|Xn-1|<ε, 即1/(n 1)<ε,

因为1/(n 1)<1/n, 故找到 1/n<ε（n>1/ε，令N=1/ε）就能得出n>N以后的项都满足|Xn-1|<ε。

证明：

∀ε>0, ∃ N=1/ε, 当n>N时，有|Xn-1|<ε,故原命题得证。

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限于作者水平，若有不妥之处望广大读者指正，共同进步。