纪塔娜女神为什么围成半圆形（从纪塔娜问题谈起）

开场故事

圆的极值性质：从纪塔娜问题谈起

问题2的解法：

问题2通常称为纪塔娜问题.在神话里,纪塔娜是非洲卡尔法格纳古城的创始人海枣王的皇后.传说她与居住在非洲北岸的部落商议以后,北岸部落让出“由灰鼠狼皮所能包围住”的一块土地给纪塔娜皇后.但是,纪塔娜皇后不只是用这块小小的灰鼠狼皮去包住一点点泥土。她想出了一个巧妙的办法:先把灰鼠狼皮剪成很细的皮条,再把它们接成一条长带.她用这条长带并利用了海岸线,划出一块比选择远离海岸所能划出的大得多的领土(海岸线近似地看作为直线).

我们将问题2用定理形式表述出来。

定理 以任意长度的直线段和另一长为L的曲线所围成的一切（凸）图形中，半径为L/π的半圆具有最大的面积。

另一个问题

开场故事来自数学小丛书的《等周问题》。看完后想到另一个问题：

如果三条直线段长度之和为定值，求这三条线段与一条任意长度的直线所围成的四边形最大面积是多少？

这个问题由一个简单问题变形而来。如果问周长一定的四边形面积最大，大家都知道是正方形，但是去掉一条边，题目由四条边长度之和为定值改为三条边长度之和为定值，题目更难了，答案就不明显了。

接下来我们开始探索之旅。

从失败开始

古今中外的科学书籍，都是谈结论，讲答案，只说成功的一面，对于探索过程的种种失败经历都讳莫如深。

学生看数学教科书，都是光辉的一面，搞不懂正确答案是怎么得到的。

毛主席说:“人的正确思想是从哪里来的?是从天上掉下来的吗?是人的头脑里固有的吗?”数学也是人的正确思想.它不是从天上掉下来的，也不是人的头脑里固有的，那么，它是从哪里来的？

我们先不说答案，让我们从书上从不记录的种种失败开始吧！

现在还没有头绪，也不能啥也不干，就先做实验吧，看能不能找到规律。

实验一：假设三条边的和是60，开始做实验。请看下图：

实验1

先围成一个正方形，看看如何。

面积A=a²=400

再看实验二，请看下图：

实验2

再看长方形如何。面积A=ab=400

这个长方形的面积和正方形一样，意不意外？想一想，也正常。免费的边比实验1更长，所以打平了。

再看实验3：

实验3

把上一个实验改进而来。两条短边增加倾斜角度，看能否增加面积。结果形成了一个等腰梯形，面积反而减少了。

再看下一个实验。

实验4

这次增加了倾斜角度，面积比上一个实验结果更少。看来120°比135°效果更好。

再看下图一个实验：

实验5

实验设计的思路是a：b=1：2，看看如何。结果令人振奋，终于突破400了。

再接再厉，请看下一个实验。

实验6

按照最佳角度120°倾斜两条短边，结果面积增加了，再创新纪录。

关于对称的思考

做实验可以增加我们对问题的感性认识，积累实验数据，帮助我们归纳总结隐藏的规律。

毛主席教导我们说，“我们的实践证明，感觉到了的东西，我们不能立刻理解它，只有理解了的东西才更深刻地感觉它。感觉只解决现象问题，理论才解决本质问题。”现在我们应该思考问题的突破口在哪里？

古希腊人知道正多边形的极值性质，在边数一定的情况下，圆的内接n边形中，正n边形围成最大的面积。举个例子，周长一定的圆的内接四边形中，正方形面积最大。多边形千姿百态，但是最优美最漂亮的是正多边形，达到极值的几何图形往往具有对称性，它的美也来源于对称。

由对称容易联想到反射法。具有对称性的几何图形的极值问题，在解题技巧上和反射法有很深的联系。

如果熟悉反射法，再与正多边形的极值性质联系起来，想到这一层，感觉思路豁然开朗了。

画一个半圆，直径的两端确定了两个点，在圆弧上找两个点，构成等腰梯形。要达到极值，只是等腰梯形还不够，还必须是两腰和上底相等的最特殊的等腰梯形才行。

为什么这样就达到极值了呢？证明很简单。

以直径为对称轴，把等腰梯形和半圆都反射过去，就构成了一个圆和它的内接正六边形。最终答案就浮出水面了，请看下图：

最终答案

总结：在山重水复疑无路的时候，我们没有放弃探索，终于穿越黑暗的隧道，看到了柳暗花明又一村。

正六边形是非常美丽的图形。从圆心向每条边的两端连线，就构成了六个正三角形。我们知道正三角形的三边相等，三个角都是60°，所以正六边形的内角是60 60=120°，所以最终答案就是：

如上图所示，三边相等的等腰梯形，且有两个角是120°的等腰梯形，就是所求的最大面积的四边形。

前面几个图形的面积计算需要用到三角函数的知识，这里作一个简要说明。请看下图：

特殊角的三角函数值

上图列出了特殊角的正弦函数和余弦函数值以及记忆方法。把正弦记住了，从上往下填表；余弦不用记，从下往上填表就万事大吉。

上图是中学数学老师教的，因为太好记忆了，所以记住了就再也忘不了。

毛主席的答案

人的正确思想到底是从哪里来的？我们来听听毛主席的答案。

人的正确思想，只能从社会实践中来，只能从社会的生产斗争、阶级斗争和科学实验这三项实践中来。人们的社会存在，决定人们的思想。而代表先进阶级的正确思想，一旦被群众掌握，就会变成改造社会、改造世界的物质力量。人们在社会实践中从事各项斗争，有了丰富的经验，有成功的，有失败的。无数客观外界的现象通过人的眼、耳、鼻、舌、身这五个官能反映到自己的头脑中来，开始是感性认识。这种感性认识的材料积累多了，就会产生一个飞跃，变成了理性认识，这就是思想。这是一个认识过程。这是整个认识过程的第一个阶段，即由客观物质到主观精神的阶段，由存在到思想的阶段。

这时候的精神、思想（包括理论、政策、计划、办法）是否正确地反映了客观外界的规律，还是没有证明的，还不能确定是否正确，然后又有认识过程的第二个阶段，即由精神到物质的阶段，由思想到存在的阶段，这就是把第一个阶段得到的认识放到社会实践中去，看这些理论、政策、计划、办法等等是否能得到预期的成功。

成功了的就是正确的，失败了的就是错误的，特别是人类对自然界的斗争是如此。在社会斗争中，代表先进阶级的势力，有时候有些失败，并不是因为思想不正确，而是因为在斗争力量的对比上，先进势力这一方，暂时还不如反动势力那一方，所以暂时失败了，但是以后总有一天会要成功的。人们的认识经过实践的考验，又会产生一个飞跃。

这次飞跃，比起前一次飞跃来，意义更加伟大。因为只有这一次飞跃，才能证明认识的第一次飞跃，即从客观外界的反映过程中得到的思想、理论、政策、计划、办法等等，究竟是正确的还是错误的，此外再无别的检验真理的办法。而无产阶级认识世界的目的，只是为了改造世界，此外再无别的目的。

思维拓展

我们知道了正多边形的极值性质，也知道了圆和球的极值性质，就忍不住会产生一些联想。

等周三角形中，正三角形面积最大；但是在等周条件下，正三角形面积小于正方形，正方形面积又小于正五边形面积......正n＋1边形面积大于正n边形。以此类推，我们得到结论：当周长给定时，正多边形的边数越多，面积越大。那么，当边数无限增加时，将会发生怎么样的结果。

我的个人观点是，如果正n边形的边数n→∞，那么它就变成了一个圆。结论：圆是正∞边形。

据说，牛顿曾经用放大镜仔细观察过圆，得出圆是由直线组成的结论。

恩格斯说过，在初等数学中，直线和曲线是矛盾对立的，而到了高等数学，直线和曲线是对立统一的辩证关系。即直线是特殊的曲线，直线和曲线在一定条件下可以相互转化。

《烧掉数学书，重新发明数学》截图

圆面积之谜

想通了这一点，圆面积之谜也豁然开朗了。

开普勒分圆

当年，开普勒像切西瓜一样，把圆分为许多小扇形，然后推导出了圆面积公式。与别人不同的是，开普勒把圆分为无穷多个小扇形，而且断言小扇形面积和对应的小三角形面积相等。

推导圆面积公式

也就是说，用开普勒的无穷分割法，可以把圆分为无穷多个小扇形，然后拼接成一个长方形，这个长方形的一条边是r，另一条边是πr。这是化圆为方的奇迹啊！

开普勒的时代，虽然对数发明了，但是微积分还没有诞生，这个奇迹难以置信，同时代的人无法理解这是什么魔法。

如果你同意圆是正∞多边形，就能够理解开普勒的无穷分割法。

无穷大和无穷小都是变量，不是常量。

无限的世界和有限的世界有很大的不同，违反我们的日常生活经验和直觉。所以，伽利略的疑问要到康托尔才能回答。

用哲学观点来看，开普勒的无穷分割法符合量变引起质变，化圆为方的魔法，其实就是从量变到质变的飞跃。

开普勒把圆分为无穷多个小扇形是正确的，只有这样才能得到圆面积的准确值。如果分为有限个小扇形，永远只能得到圆面积的近似值。

总结：

约翰尼斯·开普勒面对质疑，说不清楚每个小扇形的面积是不是零。

刘徽的割圆术告诉我们，可以用正多边形不断逼近圆面积。

如果正多边形变成了正∞边形，就等于圆。这就好比下面的算式

1=0.9 0.09 0.009 ......=0.999......

在对圆面积的无穷分割过程中，小三角形面积和组成了一个数列：S₁，S₂，S₃，......，像上面的算式一样，无限趋向于圆面积。

正∞边形面积=S₁ S₂ S₃ ......=圆面积

因此，圆的面积也必须在一个无限过程中才能求出来。

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