从样本推算总体均值（如何通过样本数据推断其分布）

运筹模拟的时候，我们通常会给定，某事件服从正态分布/指数分布之类。问题是，我们通常只能观察到样本数据，没有办法观察到其具体服从的分布。所谓服从什么分布，是需要我们从样本数据推测的。

那么问题来了，怎样从数据推测出其所服从的分布(goodness of fit)呢？

市面上有一些专业的统计软件，可以做到从数据到分布的推测。比如Stat::Fit。但289美元的价格可着实不低。所以我们需要另想办法。

常见分布匹配的方法有很多，比如

• Bayesian information criterion
• Kolmogorov–Smirnov test
• Cramér–von Mises criterion
• Anderson–Darling test
• Shapiro–Wilk test
• Chi-squared test

我们以 KS 测试为例。KS 具体理论很多书籍都有详细解释，这里不再重复。有兴趣的朋友可以关注后回复 ks 获取相关资料。

Scipy 的统计模块 stats，可以做 ks 测试。但有个问题是，分布参数需要我们提供。比如指数分布，其概率密度函数为

这里的 lambda就需要我们自己提供。好在scipy里面有现成的方法可以从数据估算参数，就是用分布函数的fit方法。

于是，我们可以用 fit() 从数据里面先估出分布的参数，然后再用ks test测试其是否满足分布，就可以得出数据到底服从什么分布了。

举个例子。现有一家水煮鱼饭馆，观察到了顾客到来的时间间隔见 data.txt，老板想知道它服从什么分布。

importscipy.statsasstats importnumpyasnp importmatplotlib.pyplotasplt data=np.loadtxt('data.txt',delimiter=',',encoding='utf8') dists={'norm':stats.norm,'lognorm':stats.lognorm,'expon':stats.expon} fordindists: paras=dists[d].fit(data) test=stats.kstest(data,dists[d].cdf,paras) print('{:1}\tpvalue:{:2}'.format(d,test[-1]))

可以得出结果

norm pvalue:0.18025230160179895 lognorm pvalue:0.703843693432498 expon pvalue:0.705389895669437

可见，这个最可能服从指数分布，其 loc = 0.1076，scale = 5.56。

打印其结果如下

x = np.arange(0, 20, 0.01) paras = stats.norm.fit(data) ynorm = stats.norm.pdf(x, paras[0], paras[1]) paras = stats.lognorm.fit(data) ylognorm = stats.lognorm.pdf(x, paras[0], paras[1], paras[2]) paras = stats.expon.fit(data) yexpon = stats.expon.pdf(x, paras[0], paras[1]) fig, ax = plt.subplots() ax.plot(x, ynorm, label='norm') ax.plot(x, ylognorm, label='lognorm') ax.plot(x, yexpon, label='expon') ax.legend()

结果为

今天我们大致讨论了如何用 scipy 模块判断样本数据所服从的分布。通过上面的例子我们可以看到，在 70% 左右的置信度上，数据既可能服从指数分布，也可能服从对数正态分布。

其实这也正常。理论分布是我们用来解释世界的一种手段，我们的真是世界到底服从什么分布，从样本是无法确定的。就像上面的图形，expon 和 lognorm 长得也真挺像。

另外，所谓一力降十会，咱有了一个 Python，就可以看淡世间所有繁华。就像有了刘亦菲，还要什么杨幂和阿娇？

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Lily

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1. W. McKinney, Python for Data Analysis. Beijing: O’Reilly, 2017.
2. J. VanderPlas, Python Data Science Handbook. Beijing: O’Reilly, 2016.

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