数学圆的有关知识（数学笔记圆的几何性质）

圆的基本性质

圆的概念

例题

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A，B为端点的弧记作⌒AB，读作“圆弧AB”或“弧 AB”，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧(用三个点表示）；小于半圆的弧叫做劣弧(用两点表示)。

能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

垂径定理 ：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

顶点在圆心的角叫做圆心角。

定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角

圆周角定理

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

同弧或等弧所对的圆周角相等。

半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

例题

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形中角之间的关系

利用圆周角定理得出内接四边形的一个性质: 圆内接四边形的对角互补。

点、直线与圆的位置关系

点与圆的位置关系

点与圆的位置关系

一点或者两点都不能确定一个圆

不在同一直线的三点确定一个圆

不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

假设命题的结论不成立(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立的方法叫做反证法。

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系

直线和圆有两个公共点，即直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；直线和圆只有一个公共点，即直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；直线和圆没有公共点，即直线和圆相离。

直线l和⊙O相交↔d<r ; 直线l和⊙O相切↔d=r ；直线l和⊙O相离↔d>r。

切线的判定正理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。(圆的切线垂直于过切点的半径)

生活中的圆与切线

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长。

圆外一点所作的两条切线的关系

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

内切圆例题

圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系

1. 两个圆没有公共点: 相离，图(1)叫做外离，图(5)(6)叫做内含，(6)中两圆的圆心相同是两圆内含的一种特殊情况。

2. 两个圆只有一个公共点: 相切，如图(2)叫做外切，图(4)叫做内切。

3. 两个圆有两个公共点: 相交，如图(3)所示。

圆与正多边形

圆周率π

公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德通过圆内接和外切正多边形逼近圆周的方法得到圆周率介于 3(10/71）和 3(1/7）之间。我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，并指出在圆的内接正多边形加倍的过程中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。他计算出π≈157/50≈3.14。南朝的祖冲之又进一步求得π的值在3.141 592 6和3.141 592 7之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人。

弧长和扇形面积

弧长

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

扇形的面积

圆锥的侧面积与全面积

圆知识的复习

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