常微分方程里的线性方程是什么（线性微分方程解的三个重要特征）

前一篇《带你走进微积分的堂学习：一阶线性微分方程式的基础原理》详细讨论了线性微分方程的结构以及通解特性，本篇我们借此机会指出一阶线性微分方程解的三个重要特征

1）有一阶线性微分方程

的通解是

可以看出，它等于（1）的一个特解（对应于上式的C=0）再加相应的齐次线性（2）的通解，

因此如果求得非齐次线性微分方程（1）的一个特解为y=φ1(x)和相应的齐次线性方程（2）的通解，则(1)的通解为

2）设a(x)和b(x)在区间α<x<β上连续，则由上述通解公式可知，线性微分方程（1）的一切解在α<x<β上存在，面对非线性微分方程，一般就没有这种解的全局存在性，例如非线性微分方程

关于x的定义域为-∞<x< ∞,而它的解，例如y=tanx的存在区间只是-π/2<x<π/2,这就表明，非线性微分方程解的存在区间一般是局部的，而不像线性微分方程的解那样是全局的。

3）求线性微分方程（1）满足初始条件

的解，由通解，得y(x0)=C，因而再由C=y0，即得初始问题的解为

根据上面的解法可知，这也是唯一的解，这就证明了对于线性微分方程的初值问题，它的解是存在并且唯一的。而对于非线性微分方程的初值问题，它的解有时就不是这样。因此线性微分方程的解在结构上要比非线性微分方程的解简单一些。

举例：设跳伞员的质量为m，降落伞的浮力与它下降的速度v成正比，求下降速度v(t)的变化率。

先取坐标系，参看图2-4，我们规定v正向指向地面，则重力w=mg是正的，而浮力f0=-kv(常数k>0)向上为负，因此跳伞员所受的外力为

而惯性力为m.dv/dt,因此，由牛顿的第二运动定律推出跳伞员的运动方程为

这里v=v(t)是未知数，可以把上面的方程写成

这是一个非齐次线性微分方程，用积分因子μ(t)乘上式两端得到

再取不定积分，得到

因此，我们求得跳伞员运动方程的通解为

由此可见，结果为数

这就是说，只要跳伞员在空中有足够长的停留时间，他到达地面时的速度近似地等于mg/k，而自由落体时按照加速度g(v=gt v0)落到地面的