西游归来的数学解读（西游归来的数学084）

第84回

百米赛跑，猪八戒输得悲壮

王位之争，孙悟空巧妙献策

话说八戒随悟空解决完工艺厂设计部问题后已到了下班时间，他们吃完晚饭后在体育场的树胶跑道上散步，见一群十三四岁的小伙子分成两组在赛跑，这场景让他俩不约而同想起了当年随师父唐僧西天取经路过乌哇国时的遭遇，当年情景历历在目……

话说当年师徒四人西天取经途中，这一日来到一个名曰乌哇国的小国，正逢乌哇国一年一度的全运会，在国王的盛情邀请下，唐僧决定派三位徒弟以大唐帝国的名义参加.比赛的项目与规则是：乌哇国选出三名赛跑健将分别与孙悟空、猪八戒和沙僧进行百米比赛，每局比赛胜者得2分，负者不得分，平局每人得1分。最后以各组三人得分总分高低定输赢.

兵法云"知己知彼，百战不殆"，为了这场比赛，孙悟空对乌哇国参赛的三名健将进行调查，结果知道乌哇国三名赛跑健将排名第一的比孙悟空略胜一筹，排名第二的虽然不是悟空的对手，但比沙僧稍快一点，排名第三的虽比沙僧慢，但比八戒还是快一点。

面对如此强大的团队对手，唐僧把三个徒弟召集在一起研究对策。

"猴哥，对手如此强大我们必输无疑，还有必要比吗？"

"是啊，大师兄，我们还是认输吧。"

听完悟空介绍对手情况后，八戒和沙僧都想放弃这场比赛。

"八戒、悟净，怎能轻言放弃呢？"师父说，"为了弘扬我大唐的国威，再苦再难我们也应搏一搏，拼一拼。"

"连猴哥都不是他们的对手，再怎么拼也是输定的。"

"悟空，你快想一想有什么对策可以取胜的没有？"

"我正想着呢，师父。"悟空忽然脑袋一拍，"有啦。"

"能有什么啊？"八戒不屑一顾反问道，"这明摆着输定了，难道你有反败为胜的妙招？"

"真有办法了吗悟空？"师父欣慰地问道，"你想到了什么办法？"

"师父，根据比赛规则，只要我们三人获得的总分超过对手三人的总分，我们就赢了。因此，我的设想是这样滴："悟空说，"在分组比赛时，我们让八戒与乌哇国排名第一的分为一组，我自己和第二名的一组，沙僧与第三名的一组……"

"你疯了吗猴哥？让俺老猪去对那第一名的岂不是输得更惨？这是什么破主意啊！"八戒一听马上叫嚣起来反对。

"八戒，就按你大师兄的建议执行吧。"

师父发话，八戒即使心里十万个不愿意也只好遵命。

翌日，比赛按既定方案如期进行。结果八戒惨输给乌哇国第一名选手，让对方轻易地得了2分。八戒的悲壮让悟空和沙僧分别赢得了2分，最后以总分4：2为大唐赢得了荣誉.

比赛结束后，乌哇国全国上下甚是不服，文武百官议论纷纷，明明是一场稳操胜券的比赛却这样不明不白地输给了大唐.国王心想，这四个和尚智慧超人，并非等闲之辈，我何不将困惑已久的问题向他们请教请教呢？

当晚，国王设宴招待唐僧师徒四人，酒过三巡后，国王提出一个纯属家事的问题，请求唐僧师徒帮他一把.

原来，国王有三个王子，按照王法规定，在继承王位时必须举行射箭决斗，胜者为王，败者为寇。由于小王子勤劳勇敢，心地善良，深得百姓拥护和爱戴，同时也得到国王的偏爱，一心想让小王子继承王位，可小王子却又不争气，在三兄弟中箭法最差，每箭射中的概率只有1/3；二王子箭法稍好些，每箭射中的概率是1/2；大王子箭法最好，箭无虚发，百发百中，射中的概率为1.

在决斗中，为了显示公平公正，三人两两等距离地站在一个等边三角形的顶点位置上，由箭法最差的先向另外两人中的一人发箭；如果箭法排名第二的没被射中，那么接下来由箭法排名第二的向其中两人中的一人发箭；最后由箭法最好的发箭（假如他没被射中）.如果有谁被射中，就马上退出竞争；如果始终没被射中，再按开始时的顺序轮回，直到最后剩下没被射中的一人为胜者.令国王烦恼的是：小王子究竟应先向谁发箭胜出的概率会比较大呢？

八戒一听国王把规则介绍完后马上出主意说："这还不简单吗，自然是先向老大发箭了."

"为什么呢？"国王将信将疑.

"你想，如果先向老二发箭，此时无非出现两种情况：老二被射中或没被射中.

如果老二被射中，接下来由老大发箭，那小王子还能有不被射中的可能吗？不被射死射伤就已是万幸了。"八戒瓮声瓮气地解释道，"如果老二没被射中，接下来由老二发箭，他可能向小王子发箭，此时有不被射中的可能；如果他向老大发箭，小王子性命自然暂且无忧。但接下来轮到老大发箭，他射向谁谁就输。因此，如果先向老二发箭还不如先向老大发箭."

"你说的似乎有道理，可是，如果先向老大发箭，万一射不中，接下来由老二发箭，他如果向老大发箭，如果也是射不中，接着由老大发箭，他会不会为报一箭之恨？先向老三发箭呢？要是那样小王子就得退出了！"国王叹息道，"即使老大不记仇，不先向小王子发箭，而是先向老二发箭，老二中箭后，接下来再由老三发箭，这是他第二次发箭，还是有射不中老大的可能，此时再由老大发箭，小王子岂不是又完了？哎……"

"你定的这是什么破规矩啊？"八戒埋怨说，"我看小王子想取胜的希望十分渺茫。"

"我看小王子先发空箭取胜的机会比较大."正当八戒和国王喋喋不休时，悟空语惊四座，大家都把疑惑的目光投向了他，只听他慢条斯理地解解释说，"大家想一想，小王子如果先空射一箭，那接下来由老二发箭，他会认为老大最危险，很有可能先向老大发箭。

如果老大被射中，接下来又轮到小王子发箭，他极有可能射中老二；如果没射中老二，再由老二发箭，他射中的概率为1/2，虽然是第二次发箭，但也不一定就能射中；最后再由小王子发箭，此时小王子已是发第三箭了，虽然射中的概率只有1/3，但射中老二的可能性也是很有可能的。

如果老二发箭没有射中老大，那接下来由老大发箭，他不论是认为老二比小王子危险，还是要报刚才的'一箭之怨'，都很有可能会先向老二发箭，射中老二后，轮到小王子发箭，他虽然只有1/3的射中概率，但还是很有可能射中老大的。"

国王觉得悟空说得比八戒更有理，于是采用了他的建议，结果在比赛中小王子真的"侥幸"取胜，当上了国王。

"猴哥，当年我俩为那小王子射箭一事高谈阔论，津津乐道，这其中究竟有没有根据呢？"

"这个我倒没认真思考过。"悟空说，"要知道有没有根据只需要分别计算一下小王子按各种方案发箭的第一回合后，小王子不被射中的概率大小，看哪个方案不被射中的概率最大就是最佳的方案。"

"这种问题的概率也能算吗？"

欲知悟空如何回答？请看下回分解.