导数综合题求解策略 解决导数综合问题

虽然全国各地高考数学使用试卷有所不同，但各地很多高考数学题目类型基本都是一样的，如导数综合运用问题。

导数的出现，毫不夸张的说是开辟了数学领域的新天地。因此，在高中数学学习才会将导数内容的引入，使高中数学学习的方法、工具和数学语言等等更加丰富，应用形式更加灵活多样，同时也有力地促进了新课程改革和考试改革。

正因为导数能很好体现高考数学选拔人才的功能，导数综合应用问题是目前高考数学命题的热点。纵观近几年的高考，导数的考查主要体现在：导数的几何意义；利用导数研究函数的性质、极值和最值；导数在不等式以及实际问题中的应用。

导数综合应用问题是高考数学热点，但很多考生因缺乏一定的方法和技能，造成遇到导数就退缩，甚至完全放弃。

因此，我们今天就聊聊高考热点：导数综合应用问题。

首先大家要熟记下面这些知识：

函数的单调性

在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数。

f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数。

函数的极值

1、函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值。

2、函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值。

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。

函数的最值

1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。

2、若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。

典型例题1：

(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；

f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)。

令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.

当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，

故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；

当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，

故f(x)在(－2,2)上为减函数；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，

故f(x)在(2，＋∞)上为增函数。

由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，

f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16.

由题设条件知16＋c＝28，得c＝12.

此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，

f(2)＝－16＋c＝－4，

因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.

我们一定要知道，高考导数压轴题考查的是一个人运用知识解决问题的能力，但能力高低首先要掌握好基础知识，如基本概念切线、单调性、非单调、极值、极值点、最值、恒成立、任意、存在等等。

导数综合运用问题突破重点在于式子的运算变形能力。

f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件。例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点。此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点。

可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较。

求可导函数单调区间的一般步骤和方法:

1、确定函数f(x)的定义域；

2、求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；

3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。

典型例题2：

(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，

所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，

令f′(x)＝0，

即6(x－1)(x＋2)＝0，

解得x＝－2或x＝1，

当x∈(－∞，－2)时，

f′(x)>0，

即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；

当x∈(－2,1)时，

f′(x)<0，

即f(x)在(－2,1)上单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，

f′(x)>0，

即f(x)在(1，＋∞)上单调递增。

从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，

在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.

利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：

1、已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：

一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解。

2、已知函数的单调性求参数的取值范围：

转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题。

3、已知函数的零点个数求参数的取值范围：

利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解。

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：

1、分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y＝f(x)；

2、求出函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

3、比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值。

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