怎么证根号二为无理数（怎么证明根号2是无理数）

这是学习笔记的第 2161 篇文章

记得上学的时候忙着考试，把心头的一些为什么都压在了脑后。

面对未知，我们大多数人都选择了默认接受，其实你不懂根号2，

比如：根号2（√2）为什么是无理数，我们有什么办法去计算它。

当我冒出这个想法的时候，其实大部分人的反映都一样1 1开根号就是啊，至于为什么，就是规定呗，当然把根号作为一种符号确实如此，但是离结果还差了很远。

这个问题追根溯源，会发现远比我们想象的要复杂，得追溯到古希腊时期。

毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年至公元前500年间）是古希腊的大数学家，他提出“万物皆为数”的观点。公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）突然发现好像有些情况解释不了，比如一个正方形的对角线与其一边的长度，这明显与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭，使得学派领导人很惶恐，最后被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。

要去计算根号2的值，我们可以拆分为两个问题。

1）怎么证明根号2是无理数

2）根号2的无理数值是怎么计算出来的？

我们来从求知的角度来证明下根号2（√2）为什么是无理数？

方法1：尾数证明法：

假设根号2是一个有理数，那么根号2就可以使用a/b的形式来标识，其中(a,b)=1,(表示a 与 b 最大的公因数是1）,a和b都是正整数，明确了这些条件，我们就开始证明了。

第1步：√2=a/b 那么可以得到a*a=2*b*b

第2步：从数的平方我们可以很快得到，b*b的尾数范围是 (0,1,4,5,6,9)中的一个数，不可能是2,3,7,8，这个道理不难理解；

第3步：2*b*b的尾数范围是（0,2,8）中的一个数，

第4步：因为a*a=2*b*b,那么a*a的尾数范围可以排除2和8，只有0

第5步：因为2*b*b得到的值肯定是一个偶数，那么b*b的尾数范围是(0,5)

第6步：按照目前的尾数可选项，a和b存在公因数5，和(a,b)=1是相矛盾的。

所以根号2是一个无理数。

方法2：奇偶分析法

假设√2=a/b 那么可以得到a*a=2*b*b,(a,b)=1,(表示a 与 b 最大的公因数是1,a和b都是正整数

1）根据2*b*b可以推得a是一个偶数，我们可以设置a=2c

2）4*c*c=2*b*b得到 b*b=2*c*c，可以得到b也是偶数

3）a,b都是偶数，这和(a,b)=1相矛盾

所以根号2是一个无理数，可以说明的是希帕索斯就是用这种方法证明的。

还有很多种方法补充，差不多有8种左右，我就不一一罗列了。

如何计算根号2的值呢，查找了不少资料，我觉得这几种方法还是能消化的。

方法1：

（√2 1）（√2-1）=1，这是我们参考的一个基准，可以按照这种方式不断的展开。

√2-1=1/（√2 1）

√2 = 1 1/（√2 1）,继续带入根号2的对等公式

√2 = 1 1/（1 1/（√2 1） 1）=1 1/（2 1/（√2 1））

继续推导：

√2=1 1/（2 1/（√2 1））=1 1/（2 1/（1 1/（√2 1） 1））=1 1/（2 1/（2 1/（√2 1）））

这种方式叫做连分数法，我们可以通过这种不断的迭代可以得到更加精确的值。

方法2：

我们可以很容易得到根号2的范围，明显是大于1的，所以我们可以按照y=x 1的函数来表示，即

√2 = y=1 x

对上式做平方，得到

2=（1 x）(1 x),得到

2=1 x*x 2*x 1,进一步得到，

x*x 2*x=1,推得，x*(x 2)=1,得到

x=1/（x 2）,所以

1/x=2 x=2 1/(2*x)=2 1/(2*1/（x 2）)

=2 1/(2*1/（1/（x 2） 2）)

按照这种方式可以不断的推导，得到更加精确的值。

计算机如何计算根号2

当然还有很多高大上的方法来进一步辅助，比如牛顿迭代法，二分法等

那么如何在计算机中来计算得到根号2呢， 这里要介绍一个传奇算法：算法名字就是：0x5f375a86，看起来像是一个内存地址一样，该算法据说比牛顿迭代法快4倍，核心的代码类似下面这样：

i = 0x5f375a86 - (i>>1);

至今为止仍未能确切知晓此常数的起源 ，值得一提的是这个值最初为0x5f3759df，后来由Lomont通过暴力穷举找到这个更优值，即0x5f375a86

Lomont采用暴力方法逐步尝试，终于找到一个比之前的好那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86，为此他写了一篇论文《Fast Inverse Square Root》

,