解排列组合问题常用方法（逆向思维助你解）

对于如下几类排列组合等应用问题：

（１）其中某几个元素不相邻；

（２）所有元素两两相同；

（３）其中某几个元素的排列顺序一定的；

我们可以采用“逆向思维”模式：先给出该问题结果的某一排列或组合，然后逆向思维产生这一结果的“过程”，最后依据这一“过程”进行推理与计算．

一、　其中某几个元素不相邻的排列组合应用问题

[例1] 如下图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×3×2的长方体框架（由24个棱长为一个单位的正方体框架组合而成），一建筑工人从A点沿脚手架到B点，每步走一个单位长度，且不连续向上登攀，则其行走的最近路线共有：

A.150条 ； B. 525条； C. 840条 ; D.1260条。

分析与解：假设建筑工人从A点沿脚手架到B点行走的一条最近路线依次是：向右，向上，向北，向北，向上，向右，向上，向右，向右（共9步且向上的３步不相邻邻），这一最近路线可看成从向右或向北的６步中选４步向右，剩下的２步向北，再将向上的３步插入到前６步形成的7个空隙中，所以其行走的最近路线共有

选B。

例2, 7张椅子4人入座,每人坐1张,恰有2张空椅相邻的不同坐法有多少种？

分析与解:逆向思维如下：用a,b,c,d表示4人分别入坐1张椅子的一个结果；用“0”表示空椅子．假设该问题的某一坐法是：a，0，b，0，0，c，d,这一坐法可以看成4人先坐在4张固定的椅子上,再把3张空椅子(恰有2张空椅相邻)插入到这4人形成的5个空隙中,故不同坐法有

评析:凡“其中某几个元素不相邻的排列组合应用问题”，都是使用“先排可相连的，后插入不相连的”的“插空法”。

二、所有元素两两相同的排列组合应用问题（也叫名额分配问题）

例3，方程

的非负整数解的个数是多少？

分析与解：若定义映射

则 f是从方程

的非负整数解集到方程

的正整数解集的一一映射。

逆向思维如下：假设方程

的一个正整数解是

=（１，１＋１，１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１），

这相当于将11个“1”排成一行后, 用3块板子将它们隔成4部分, 使每一部分至少有1个“1”，所以方程

正整数解的个数是

从而方程

的非负整数解的个数也是120。

例4，现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A 、B 两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许 1台也没有，则不同的分配方案共有多少种？

分析与解: 逆向思维如下,假设A 、B 两所希望小学及其余的3所小学分配的电脑台数分别是：2，3，1，0，0，这一分配方案可看成先将 A、B 两所希望小学各分配2台电脑，剩下的２台再分配给这5所小学（相当于求方程

的非负整数解的个数），仿例3的推理得：不同的分配方案共有

评析， 凡“所有元素两两相同的排列组合应用问题（也叫名额分配问题）”，都可以用“隔板法”。

三、其中某几个元素排列顺序固定的排列组合应用问题

例5，墙壁上挂着8个气球（如下图），一个神枪手每次选择一列最下方的一个球射击（假设每次射击必中），则将气球全部击完的方式有多少种？

分析与解：逆向思维如下，设左边３个球由下到上依次是a1，a2，a3 ；中间２个球由下到上依次是 b1，b2；右边３个球由下到上依次是 c1，c2，c3．假设将气球全部击完的一种方式是 b1，c1，c2，a1，b2，c3，a2，a3，这一方式可看成是将这８个元素进行全排列，且 a1，a2，a3；b1，b2 ；c1，c2，c3 分别按照由左到右的固定顺序排列．所以将气球全部击完的方式有

例6，一只蜘蛛早晨起床给它的8只脚穿上袜子和鞋，每只脚先穿袜子后穿鞋, 那么不同穿法种数是多少（只需列式）？

分析与解： 逆向思维如下：用

分别表示蜘蛛早晨起床穿上的第 i 只脚上的袜子和鞋．假设一只蜘蛛早晨起床给它的8只脚穿上袜子和鞋的某一种穿法是：

这一穿法可看成16个元素进行全排列且

按照固定顺序排列得到的，所以不同穿法种数

评析: 凡“其中某几个元素排列顺序固定的排列组合应用问题”，都可以用“等机率法”。

四、可化归为以上３种问题的排列组合综合应用问题

例7，某民航站设有A,B,C,D共4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，一个小组4人进站的不同方案种数是多少？

分析与解：逆向思维如下，４名旅客用p，q，r，s表示．假设一个小组4人进站的某一方案是：Ａ“安检”入口无人通过；Ｂ“安检”入口由q，p依次通过；Ｃ“安检”入口r通过；Ｄ“安检”入口s通过，这一方案可看成先将４个名额分配到A,B,C,D这4个“安检”入口（相当于求方程 x1 x2 x3 x4 = 4 非负整数解的个数），再将p，q，r，s这４人进行全排列后按照分配到４个“安检”入口的名额依次进站，所以一个小组4人进站的不同方案种数

例8, 10个相同的小球放入编号为１,2,3的三个盒子内，若每个盒子内的球数不小于它的编号数，则有多少种不同的放法？

分析与解:逆向思维如下,先将编号为1,2,3的盒子内分别放入0,1,2个小球, 这时剩下7个小球放入编号为１,2,3的三个盒子内使得每个盒子内至少1个小球（相当于求方程x1 x2 x3 = 7 正整数解的个数），所以不同的放法

例9, 用1，2，3三个数字排成一个四位数，每个数字都排上，所得四位数的个数是多少？

分析与解: 逆向思维如下,假设所得四位数是2313 ，这个数可以看成是23 13（3 ,3 这2个元素的顺序固定），

所以所得四位数的个数为

例10, 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这2个插入原节目单中,那么不同的插法种数是多少？

分析与解:逆向思维如下,用a，b，c，d，e表示原来的5个节目，用p，q表示插入的2个新节目．假设将这2个插入原节目单中的某排列是：a，b，p，c，d，q，e或a，p，q，b，c，d，e，这可看成2个新节目在7个位子上选2个位子排列得到的（其余５个位子上依次排原来的５个节目），故不同的插法种数是

例11, 某大楼从一楼到二楼共有10级台级,上楼梯可以一步上1级,也可以一步上2级,规定从一楼到二楼用8步走完,则上楼的不同方法有多少种？

A.45; B.36; C.28; D.25。

分析与解：逆向思维如下，假设从第1步到第8步所上的台阶级数分别是：1，2，1，1，2，1，1，1，这可看成8步中只有2步跨2级，其余每步跨1级，故上楼的不同方法有

故选C．

例12, 在连续7次射击中,命中目标4次,未命中的3次中,恰有2次连续未命中的情形有多少种？

分析与解: 逆向思维如下,假设恰有2次连续未命中的某个情形是：１１００１０１（“１”表示命中，“0”表示未命中），这可以看成从已命中的４个“１”形成的５个空隙中选２个空隙插入“００” 和“０”，所以恰有连续2次未命中的情形有

总之，排列组合解题中的“逆向思维”实质上是“执果索因”的分析方法，它使可用“插空法”，“隔板法”，“等几率法”来解的一系列排列组合问题有了统一思维方法，并且可以提高我们的抽象思维能力。

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