为什么计算机中常用二进制（计算机里的二进制和十六进制是什么关系）

十进制数据

在讲解二进制数据之前，我们先来看看我们最常用的十进制数据。

从小学读书起，我们就开始学习数学，最简单的加法有：

5 3 = 8;

5 5 = 10;

10 16 = 26;

看到这样的加法算术很简单，它只有一个规则：

(1) 个位数与个位数相加，满10进1；

(2) 十位数与十位数相加，满10进1；

(3) 百位数与百位数相加，满10进1；

...

以此类推，这种规则表示的数，我们称为：十进制数；

表示十进制数的元素就有：

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9

这样的10个数值；

所以，从我们最常见的算术开始，我们了解了十进制数。它的规则就是：满10进1；那么，根据这个规则，我们可以定义N进制数，它的规则就是：

(1) 表示N进制数的元素，有N个符号；

(2) 数据的表示，是满N进1；

二进制数据

通过上一节的讲解，我们知道二进制就是由0和1组成的数字，它表示电子设备的打开和关闭状态。计算机中存储的任何数据都是二进制数据。

例如十进制3这个数值，在计算机中都表示成的二进制数据是11这样数值。如果十进制3这个数值存放到1个字节中，1个字节使用8位表示，那么，表示的数值是 0000 0011，所以，表示8位二进制数据。

根据上面提到N进制数规则，我们定义二进制数的规则是：

(1) 表示二进制数的元素有 2 个符号，就是0和1这两个数值；

(2) 二进制数的表示是满2进1；

知道了二进制数据的表示方法，那么，我们试着把十进制19这个数值的二进制数据写出来。

把十进制数据转换成二进制数据，使用的方法是：除2取余法，计算过程如下：

19/2 = 9余1

9/2 = 4余1

4/2 = 2余0

2/2 = 1 余0

1/2 = 0余1

除到商为0的时候停止；

然后，从最末尾的余数开始往上取，得到10011这个二进制数据。所以，十进制19这个数值的二进制数据就是10011。如果把十进制19这个数值存放到1个字节的变量中，那么，在1个字节的内存中表示为0001 0011，因为1个字节是8位，上面我们求出10011二进制数据占据了5位，那么，剩下的高3位没有数据填充，所以，填充0值。

所以，我们可以总结十进制转二进制的方法：

(1) 采用除2取余法；除到商为0的时候停止。

(2) 余数从下往上取；

(3) 高位补零；

现在我们试着把二进制转换为十进制。在转换之前，我们先看看十进制表示的一个例子。例如189这样的一个数值，在数值序列中，从右边开始算起，从0开始计算，就有：

9在第0位，8在第1位，1在第2位，那么，就可以表示为：

1*10^2 8*10^1 9*10^0 = 100 80 9 = 189

那么，是十进制表示，所以，基数为10，例如第2位，就有10^2 表示10的2次方，就是10*10，这就是第2位的权重值；注意：在数学计算中，任何数的0次方，都等于1。 所以有：

1*10^2 8*10^1 9*10^0

= 1*100 8*10 9*1

= 100 80 9

= 189

所以，我们可以总结N进制数值的表示算法：

(1) 每个位置上的数值，与权重值相乘，然后求和；

(2) 权重值是N^x，表示N的x次方，x是数值在数值序列上的位置；位置从右边开始算，从0开始；

同理，我们就把10011这个二进制转换为十进制，也是使用相同的算法。

把10011这个数值序列解开，从右边开始计算，第0位是1，第1位是1，第2位是0，第3位是0，第4位是1；

那么是二进制表示，所以，基数为2，例如第3位，就有2^3的权重，就有：

1*2^4 0*2^3 0*2^2 1*2^1 1*2^0

= 16 0 0 2 1

= 19

所以，我们把19这个十进制转换成了10011二进制数据，再把二进制数据转换为十进制数据。

再多举一个例子，把18 这个数值转换为二进制表示，有：

18/2 = 9 余 0

9/2 = 4 余 1

4/2 = 2 余 0

2/2 = 1 余 0

1/2 = 0 余 1 //除到商等于0的时候，停止计算；

然后，从下往上取余数，得到10010二进制数据。然后，10010二进制转换为十进制数据，有：

1*2^4 0*2^3 0*2^2 1*2^1 0*2^0

= 16 0 0 2 0

= 18

通过这些例子的分析，我们讲解了二进制的表示形式和二进制与十进制数值间的相互转换。

十六进制数据

在介绍十进制数的时候，我们已经定义了N进制数，它的规则就是：

(1) 表示N进制数的元素有N个符号；

(2) 满N进1；

那么，十六进制数就是有16个符号表示，如下：

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F

其中字符A表示10数值，字符B表示11数值，字符C表示12数值，字符D表示13数值，字符E表示14数值，字符F表示15数值。注意：这个字符，也可以使用小写字符a、b、c、d、e、f表示。

在学习二进制数据的时候，我们知道，把一个十进制数据转换N进制数据，采取除N取余法。所以，把一个十进制数据转换为十六进制，就是采取：除16取余法。例如，把十进制数18这个数值，转换为16进制，有如下的计算：

18/16 = 1 余 2

1/16 = 0余1

然后，从下往上取余数，得到十六进制数12这样的数值。但是，我们有些疑惑，当我们看到12这个数值的时候，如果不表明是十六进制，我们可能会认为是十进制数据。

所以，在计算机系统中，我们定义十六进制数，使用0x前缀表示。所以，上面计算出来的十六进制数据就可以表示为0x12。当我们看到一个数值，如果是以0x开头，就表示这个数据是十六进制数据。

那么，我们把十六进制数0x12数值，转换为十进制数，算法与二进制转换为十进制数一样。对于0x12数值序列，第0位是2，第1位是1，所以有：

1*16^1 2*16^0

= 16 2

= 18

此时，就可以把十六进制0x12数值对应的十进制计算出来了。我们再计算一个例子，计算十进制是169的数值，转换为十六进制，有：

169/16 = 10 余 9

10/16 = 0 余 10

其中，十进制10数值使用十六进制字符A表示，所以，得到的十六进制数是0xA9。注意，对于10~15的数值，在十六进制中，使用字符A~F（或者小写字母a~f）进行表示。例如十进制15这个数值，使用十六进制表示，就是0xF。

现在，我们把0xA9这个十六进制转换为十进制，计算方式如下：

A*16^1 9*16^0

= 10 * 16 9 * 1

= 160 9

= 169

注意，在计算的时候，十六进制的字符A表示十进制的10这个数值。

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