材料力学组合变形知识点总结（材料力学基本变形常用公式及推导）

梁在横向荷载作用下产生弯曲变形，若梁的轴线始终保持在同一个平面内，则梁的这种弯曲称为平面弯曲。

1.弯曲内力

（1）剪力

横截面上的剪力，在数值上等于截面一侧各横向外力的代数和。

正负号规定：剪力FQ以对所截取部分顺时针向作用者为正，反之为负，如图：

（2）弯矩

横截面上的弯矩，在数值上等于横截面一侧所有各外力对横截面中性轴z的矩的代数和。

中性轴：梁弯曲时受拉区和受压区的界面称为中性层，中性层和梁横截面的交线称为中性轴。

弯矩正负号规定：当梁的下半部受拉时，弯矩M为正，反之为负，如图：

剪力和弯矩一般随着梁横截面的位置不同而变化，若横截面的位置以坐标x表示，则

FQ=FQ(x)，M=M(x)

函数式FQ(x)和M(x)用图表示，即为剪力图和弯矩图。

（3）分布荷载集度q与剪力、弯矩之间的关系

式中，分布荷载集度q以向上为正。

由于导数的几何意义是图形切线的斜率，因此可利用上列关系式，根据荷载图作出剪力图和弯矩图，或校核作图的正确性。

2.弯曲正应力与正应变

（1）正应变

对梁建立如图坐标系

x—纵轴，y—对称轴，z—中性轴。

梁受弯曲荷载变形，取其中一微元段，如图：

假设梁受弯曲变形后中性层纵轴线长度不变，即：中性层纵轴线ds=dx。可推导得纵轴线曲率为：

式中：ρ：曲率半径；

dθ：微元体转角；

ds：微元体中性层纵轴线弧长；

注：横截面上不同高度纵向线曲率不同。

变形前微元段 变形后微元段

正应变公式：

注：此时中性轴位置未确定，即坐标轴z还未确定，不能求解。

根据上述公式，ε(y)呈线性分布。如图：

截面上正应变的分布

图中：c：中性轴沿y轴到边缘的距离；

εmax:边缘最大正应力。εmax=c/ρ

（2）正应力

对于线弹性材料，由单向拉压的胡克定律：

弯曲正应力同正应变一样，也关于y呈线性分布。

纯弯曲条件下轴力P=0。

要使上式成立，

即面积关于中性轴的一阶矩为0。

这里隐含假设：E为常数（均匀材料）。

当前截面上yoz坐标系：中性轴z，截面对称轴y，

按照面积形心定义：

y为截面对称轴zc=0，此时z轴为中性轴，

则：yc=0。

说明：纯弯条件下中性轴穿过截面形心，是形心轴。

再匹配截面上的弯矩，取截面上的一个微元，如图：

dM=-σydA

注：此处σ，y均为代数值。

弯曲正应力公式：

式中：M：梁横截面上的弯矩；

Iz:横截面对中性轴（z轴）的惯性矩；

Wz:横截面对z轴的弯曲截面系数。Wz=Iz/c。

弯曲正应力特点：

①与截面上的弯矩M成正比。

②与截面上所考察点距离中性轴的位置y呈线性关系。

中性轴（层）的正应力为0；

负号反映了应力的拉压性质。

③与截面的惯性矩Iz成反比。

④与材料属性无关。

3.弯曲切应力

横截面上的剪力是横向分布切应力的合力，引入两个假设（1）切应力τ平行于FQ；（2）切应力沿平行于中性轴的方向均匀分布。

为了不失一般性，选取如图C截面形状的梁来推导。

图（a）

图（b）

图（c）

在图a梁上取宽度为dx的微元，如图b。

研究离开中性轴为y'处宽度方向的切应力分布，如图c其中NA为中性轴。

取y'以上外侧微元体为对象，根据切应力互等定理，纵截面上存在纵向切应力。将计算两侧弯曲正应力的合力，以及底面互等切应力的合力。如图：

上部外侧平衡体V＞0，底面τ向右

根据假设：分离体底面切应力也均匀分布。

弯曲切应力公式为：

式中：FQ：截面上剪力。

b：分离体底面宽度。

Iz：截面对中性轴（z轴）的惯性矩。

S(y)：应力所在横线以外部分截面面积对中性轴z的面积矩。

弯曲切应力因梁的截面形状不同而有不同的分布。常用截面的弯曲切应力公式如下：

（1）矩形截面（h＞b）

切应力分布的假设：①切应力沿截面宽度均匀分布。②切应力的方向与剪力FQ平行，即平行于y轴，或平行于截面侧边。

切应力公式：

任一点

中性轴（z轴）上各点

式中：FQ为截面上剪力；b为矩形截面宽度；Iz为截面对中性轴（z轴）的惯性矩；S（y）为应力所在横线以外部分截面对中性轴z的面积矩；A为截面面积。

（2）圆形截面

切应力分布的假设：①在离中性轴等远的各点上切应力的方向线交于y轴上同一点O'。②在离中性轴等远的各点，切应力在y方向的分量均相等。

切应力公式：

任一点

中性轴（z轴）上各点

式中：FQ为截面上剪力；b(y)为离中性轴等于y处的截面宽度；Iz为截面对中性轴（z轴）的惯性矩；S（y）为应力所在横线以外部分截面对中性轴z的面积矩；A为截面面积。

（3）组合窄矩形截面

工字型

切应力分布的假设：①切应力方向平行于截面周界。②切应力沿窄矩形厚度均匀分布。

切应力公式：

翼板任一点

腹板任一点

中性轴（z轴）上各点

式中：FQ为截面上剪力；t、b分别为翼板和腹板的截面厚度；Iz为截面对中性轴（z轴）的惯性矩；S(y)为应力所在厚度线一侧的部分截面对中性轴z的面积矩。

4.弯曲中心

梁要发生平面弯曲，要求梁的横截面至少有一个对称轴，全梁至少有一个纵向对称平面。所有横向力都作用在这个对称面内。对于非对称薄壁截面梁，为使梁只发生弯曲而不扭转，梁上的横向外力所在的纵向平面就必须通过截面内或外的某一点，这一点称为弯曲中心或剪切中心。如下图：

在具有两个对称轴的薄壁杆截面上，弯曲中心与形心重合的。在只有一个对称轴或者没有对称轴的薄壁杆截面上。弯曲中心A与形心c不一定重合。在这种情况下，若外力F仍然作用在形心主惯性平面内，则可设想这力向弯曲中心A平移，成为与剪力FQ在同一纵向平面内的力F和一个附加力矩Fa。前者使梁仅发生平面弯曲，而后者使梁发生扭转。为了避免这种情况，外力必须作用在通过弯曲中心A且与形心主惯性平面平行的平面内，这样才能保证只发生平面弯曲。几种常见的开口薄壁杆截面的弯曲中心见下图。

槽型

弯曲中心A的位置：

t为横梁的厚度

有缺口的圆环

弯曲中心A的位置：e=r0。

T型或L型

弯曲中心A的位置：两个窄矩形厚度中线的交点。

Z型

弯曲中心A的位置：与形心c重合。

5.弯曲变形—转角与挠度

以梁的原轴线为x轴，挠度y表示为：

y=f(x)

截面转角为：

挠曲线的近似微分方程为：

式中I：截面对中性轴的惯性矩。

需要注意采用不同的弯矩符号及坐标系，可能需要增加“ ”“-”号。

根据挠曲线的近似微分方程，用积分法、初参数法、共轭梁法等方法计算梁的转角和挠度。

,