量子纠缠网络研究（一种面向关系的物理学）

无论是量子物理还是复杂网络，我们都能从中看到由关系、标度、自相似、双曲几何相互交织的大网。也许这是一种能够统领宏观与微观的统一理论，这是一种面向关系的物理学。

撰文

张江（北京师范大学系统科学学院副教授、集智俱乐部创始人）

城市中的社交网络

我们的社交圈子就是一张无穷无尽的大网，而每个人就像落入的飞虫，无法看到整张网络的全貌。

真实的社交网络是什么样子的？起初人们猜想，那应该很像一个规则的网格，如图1所示。

图1. 规则网络，每个节点都只与它的欧氏距离最近的节点相连

这种思考不无道理，由于我们的城市就好像一张规则的几何平面，而每个人都生活在几乎等大小的格点之中（如图2所示），于是如果人和人之间的社交关系都仅仅限于邻里之间的话，那么规则网格就成为了必然结果。

图3. 巴黎城市上空的夜光图

这些血管不仅将城市支离破碎成一个个不规则的小区域，而且还成为了沟通两个不同小区之间的超级“虫洞”（或称传送门 Portal）——这是因为，人们可以通过现代化的交通工具快速地到达城市的远方。于是，我们猜测，社交网络也会随着“虫洞”的出现而变形：我们有大量的邻居朋友们，但同时还保持着一些遥远世界的朋友，这样网络中会出现一些长程链接（如图4所示）。

图4. 猜测的社交网络

这种长程联系可以使得网络的平均距离大大缩短，于是我们通过将近六步跳跃就可以通达整个网络，这就是所谓的六度分离现象。而作为背景的网格则使得社交关系具有高度的集聚性，也就是说你的朋友们彼此相连的概率依然很大。科学家们将这类平均距离很短、集聚性很高的网络称为小世界网络。

大量紧密相连的局部链接配上少数长程的“虫洞”使得整个网络处于一种牵一发而动全身的临界状态。物理上，这些处于临界态的系统通常具有标度对称性。

图5. 互联网：节点为路由器，连线为物理链接

如图所示，当我们用放大镜去看这个复杂网络的时候，会发现它仿佛是一座大型的分形城市，有中心，有社区，也有小镇和村庄。当我们把放大镜的比例不断提升，就会发现大大小小的团簇跃然纸上，更重要的是，它们都是彼此相似的。在定量上，这种自相似性就体现为一系列的幂律关系和幂律分布，著名的网络科学家巴拉巴希（Albert Barabasi）将这种处于临界态的网络称为无标度网络。

复杂网络的双曲几何

那么，我们是否可能设计一个模型来复现出同时具备小世界和无标度特性的网络呢？

让我们仍然从城市的类比中寻找灵感。我们都知道，城市无非就是大量人口的聚集。然而，这些人口并不均匀地分布在城市区域之中，而通常会形成中心密集、外围稀疏的分布形态。假如我们硬要将城市的形态绘制成等密度分布，那么城市就会发生一定的扭曲变形：中心区域会膨胀得很大，而外围区域则会被挤压变得很小。这在地理学中就叫做等人口密度图（Cartogram map），如图6所示。

图6. 伦敦原图（左）与它的等密度图（右），图中红色圆圈圈起来的区域就是大伦敦区，它基本上是一个对称的圆形区域，并呈现了中心人口密集，外围稀疏的特性。将大伦敦区的等人口密度图展现出来就仿佛是一个双曲空间的庞加莱圆盘模型。

可以想象，这种扭曲其实很有道理。因为城市中心通常非常拥挤，它们消耗了大量的通勤时间；而另一方面，中心城区通常是各类新闻、各类新鲜事儿的发源地，它们理应在我们的头脑中占据更大的空间。

看着图6右图中被扭曲了的大伦敦区域，我们不禁想起了著名画家埃舍尔的作品，如图7所示：

图7. 著名荷兰版画家埃舍尔的作品，用等大小的鱼填充的整个双曲空间的庞加莱圆盘模型

这是一个无限的双曲空间（曲率为负常数的非欧空间），但是通过庞加莱圆盘（Poincare disk）表示方法，这个无限的空间被压缩到了一个有限的圆盘上。图中所有的鱼都是全等的，但是，由于双曲空间存在着扭曲变形，这就使得中心区域的鱼显得更大一些，四周的鱼显得非常小，以至于在边界处，有限的圆挤下了无穷多条鱼，这些鱼的表观面积是无穷小。

这启发我们得到以下的猜想，既然城市的等人口密度图可以展现得好像一个双曲庞加莱圆盘，那么有没有可能我们的社会网络本身也是生长在这种双曲空间中的一种网络呢？

还真有人这么想。俄罗斯裔的美籍数学家克里奥科夫（Dmitri Krioukov）和希腊科学家啪啪多普洛斯（Fragkiskos Papadopoulos）长时间合作研究复杂网络的双曲几何模型。终于，2012年，他们在Nature发表了一篇题为《生长网络中的流行性及其相似性》（“Popularity versus similarity in growing networks”）的长文，构造了一个双曲几何空间中的生长网络模型。该模型不仅复现出来了小世界、高聚集性、无标度等性质，而且还能涵盖几乎所有重要的网络模型。

让我们还是用城市来做比喻。假设有一个双曲几何空间中的人类城市。在初始时刻，城市中仅有一个居民，他（她）就居住在城市的正中央（1号节点所在的位置，庞加莱圆盘的正中心）。然后，新的居民开始一个个地进入城市。假设先来的人靠近市中心，而后到的市民则只能不断地往外围扩张。每个节点都有一个极坐标 (rt ,θt)，模型规定第 t 个人到市中心的距离 rt 是 ln⁡ t，并且角度 θt 则是从 0 到 2π 区间随机选择一个。每新加入一个节点，就会带来 m 个新连边（其中 m 是一个参数，比如 3）。那么这 m 个新连边应该跟谁连呢？答案是所有的双曲空间中离这个新来的节点最近的 m 个点。

图8. 双曲空间下的生长网络

如图8所示，红色的区域就是以新加入的节点20为中心的双曲圆。我们看到这个双曲圆（红色区域）并不是一个对称的图形，而是好像舌头一样从边缘伸向了中心。这恰恰是双曲几何的典型特征。要想成为新节点 20 的邻居，老节点要么位居靠近城市中心的位置，要么就是在与新节点差不多的角度方向上。

事实上，啪啪多普洛斯将每个点 N 到中心节点的长度解释为该节点的流行性，如果 ln N 越小，则该节点越流行。反过来，作者将每个节点所在的角度解释为节点的相似性指标，如果两个节点的角度越靠近则它们彼此之间就会越相似。所以，要想竞争到新的链接，那么老节点要么非常流行，要么与新节点足够相似。在双曲几何中这就体现为让老节点到新节点的双曲距离最小化。

可以验证该网络具有小世界效应。事实上，那些连通到流行度比较高的连边恰恰可以降低网络整体的平均路径长度。而由于整个网络都是按照双曲空间近邻的方式建立，双曲空间又是一个度规空间，其上的三角形必然满足三角不等式。这样，如果 A 和 B 是邻居，B 和 C 也是邻居，那么根据三角不等式，两边之和大于第三边，也就意味着 A 和 C 的距离要小于 AB BC，所以 A 和 C 也就会有较大的概率发生连接。于是，网络的集聚性也会很强。其实，只要一个网络被嵌入到一个具有度规（定义了距离）的空间中，三角不等式就都可以成立，也就意味着集聚性会很高。

无标度网络与双曲空间

更重要的是，双曲几何自然蕴含着无标度网络。事实上，早在2010年，克里奥科夫和啪啪多普洛斯就发现，基于双曲空间的局域连接结构就天然是无标度的。比如我们在双曲空间中随机地洒下很多点，两个点之间的双曲距离如果小于某一个常数就连接一条边，那么生成的网络就是无标度网络。

这背后的原因是什么呢？原来，双曲空间其实本身就是一个连续版本的树状网络，而不同分叉数的树会对应双曲空间中的不同曲率（如果树的分叉率为 b，那么所对应的双曲空间的曲率就是 -(ln b)2）。

图9. 双曲空间中的树（在图中，每一个六边形都是等面积的，将每个六边形的中心连起来就形成了一棵树状结构，这是双曲空间的离散版本）

这样的树状结构恰恰对应了网络的不同标度。让我们对如图5所示的复杂网络结构进行放大缩小变换，我们可以将一些彼此连接紧密的节点捏到一起形成一团，并把它看作一个新的节点。这种操作在物理中叫做粗粒化（coarse graining），或者也有时叫做重整化（renormalization）。我们得到了一个树状结构，从树根到树叶，树的每一次分叉就代表了将一个节点团做展开生成更细节的节点。所以，双曲空间中的径向方向便可以被理解为系统的标度，它是一个与时间和空间同等重要的变量，但却常常被我们忽略。树根处的节点就成为了超级中心（Hub），而树叶上的节点自然形成了长尾分布。大大小小的节点相互连接就构成了非常异质化、层级性的无标度网络。

实际上，克里奥科夫和啪啪多普洛斯并不是发现系统无标度性和双曲几何之间联系的第一人，这套方法可以追溯到量子物理中的 AdS/CFT 变换。

量子纠缠

有人说，物理学给人类带来最伟大的财富可以用三个E来代表。第一是 Energy，能量；第二是 Entropy，熵；第三个就是 Entanglement，纠缠。由此可见量子纠缠在物理中的重要性。

所谓的量子纠缠是指两个量子粒子存在的一种很强的联系，在这种联系下它们仿佛就是一个整体，甚至这两个粒子已然相隔万里。这就是让大科学家爱因斯坦也唏嘘不已、不愿意接受的量子纠缠：两个明明分离的部分却表现得像一个整体。

然而，对于一个量子多体系统来说，纠缠，特别是长程的纠缠却不一定是好事。这是因为物理学家通常无法用他们熟悉的局域化的数学工具来分析这类系统。于是，物理学家们试图寻找出一种能够将长程纠缠转化为局域联系的途径。

这个时候，物理学家们忽然想到了虫洞。所谓的虫洞，就是一种时空结构，可以将两个原本相隔非常远的空间重新联通到一起。不过，这种结构是非常不稳定的，它的寿命也极其短暂。

再来看量子纠缠，它也具有非局域特性，而且也是极其不稳定的。为了避免退相干，人们需要精心制备实验条件，这也是为什么量子计算机极其难以制造的原因。我们很难长时间维持一个长程的纠缠。

正是由于量子纠缠和虫洞之间的相似性，才使得人们大胆猜测，量子纠缠实际上就是虫洞。当两个相隔很远的量子比特处于相互纠缠状态的时候，它们彼此之间实际上有着空间中的虫洞相连。

于是，当我们将量子多体中的纠缠一个个地替换成虫洞，并将通过虫洞相互联系的远程空间点拉到一起，我们就得到了一个全新的空间，一个具有负曲率的双曲空间。如果原来的量子多体系统位于一个圆环边界，那么新空间就是被这个圆环所包围的圆形双曲区域——一个庞加莱圆盘。因此，这种对应也被称为边界－体对偶。在这个体空间（双曲）中，长程的复杂纠缠消失了，取而代之的是一个弯曲的时空。由于弯曲的时空就意味着万有引力，于是，原来的无引力的量子多体系统就转化成了一个引力场。这就是物理中著名的 AdS/CFT 对应。其中，AdS 是 anti-de Sitter的缩写，它是一个具备负曲率的体空间。CFT是共形场理论（Conformal field theory）的缩写，它是边界上的处于临界的多体量子系统。

这种对应在理论物理研究中有着非同寻常的作用，它可以将一个万有引力问题转化为一个量子多体问题；反过来，它也可以将一个存在着长程纠缠的量子多体问题转化为一个无纠缠的引力问题。

走向统一

除了空间和时间，宇宙中的万事万物还需要用一个基本的量去刻画，这就是标度。一只蚂蚁和一头大象看到的世界是不一样的，因为它们在不同的标度上。而有意思的是，大自然中的很多复杂事物都具有标度对称性。也就是说，当你拿着一个放大镜去看整个系统，无论放大镜的倍数有多大，你所看到的都是非常相似的景象——这就是分形。于是，作为一个观察者，你已经无法分辨自己在什么样的标度下，这就是标度对称性或无标度性。

在过去的数十年中，人们在各种复杂系统中发现了花样繁多的幂律，或称临界现象。在这背后隐藏的是系统的无标度性或自相似性。同样的道理，这种无标度性也展现在量子纠缠系统之中。从关系的角度说，这种临界性就意味着长程关联，即所谓的牵一发而动全身。于是，传统的数学物理工具通常无法直接应用到这类体系中，因为它们大多都是局域化的。重整化几乎是目前唯一一种能够分析这类无标度系统的有效方法，它牢牢抓住了系统在尺度变化下的不变性，从而总结出规律。然而做重整化操作存在着太多的特殊技巧。

通过本文所讲的边界－体对偶变换，我们就能将处于临界的系统映射到一个具有负曲率的更高维度的空间中，这样那些长程联系就全部变成了局域联系。而我们的代价则是多出了一个维度，这个维度正是标度。这样，沿着双曲空间的径向轴，也就是标度，系统被一层一层展开，所有的复杂耦合都变成了双曲空间中的局部联系——这便是我们熟悉的重整化操作。更重要的是，我们熟悉的那些基于局域联系的分析手段又可以有用武之地了。也就是说，在双曲空间中，人们获得了全新的视角。

无论是量子物理还是复杂网络，我们看到了由关系、标度、自相似、双曲几何相互交织的大网。也许这是一种能够统领宏观与微观的统一理论，这是一种面向关系的物理学。

后记

本篇文章的灵感来源于凯风基金会赞助集智俱乐部于2016年10月初举办的“网络、几何与机器学习”研读营活动。在这次活动中，尤亦庄、张潘、吴令飞等年轻学者围绕着复杂网络、统计物理、量子物理、机器学习、计算社会科学等多个主题展开了密集式的讨论。本篇文章是笔者针对研读营活动内容所思所想的一个感悟，后经文小刚老师的点拨撰写成文。由于文中很多观点对于笔者来说都是初次接触，故而如果文中有错误或不当之处，还请各位读者海涵。

作者简介

张江：北京师范大学系统科学学院副教授，集智俱乐部创始人。2006年获北京交通大学经济与管理学专业博士学位，2006-2008年在中科院数学与系统科学研究院的复杂系统研究中心从事博士后研究工作。自2008年6月进入北京师范大学学院工作以来，共发表SCI论文十余篇，译著1本，编著2本。主要关注领域：复杂系统中的流网络、异速生长、人工智能、机器学习等。长期积极参与国际学术交流活动，曾先后访问过美国密西根大学（Michigan University）、佛蒙特大学（University of Vermont）、圣塔菲研究所（Santa Fe Institute）、瑞士弗雷堡大学（University of Fribourg）等地。

阅读材料

[1] 关于复杂网络的基础知识，可以参考Mark Newman的经典教材：Mark Newman, "Networks: An Introduction", OUP Oxford, 2010

[2] 关于双曲几何的入门介绍，可以参看：Francis Bonahon, "Low-dimensional geometry - From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots", American Mathematical Society, 1995

[3] 复杂网络的双曲生长模型（原载于Nature）：Papadopoulos F, Kitsak M, Serrano M Á, et al. Popularity versus similarity in growing networks [J]. Nature, 2012, 489(7417): 537-540.

[4] 双曲空间中的随机几何图模型（将双曲几何引入复杂网络研究的最早论文）：Krioukov, D. (2010). Hyperbolic geometry of complex networks. Physical Review E 82: 036106.

[5] 关于复杂网络与双曲空间（集智的百科介绍）：http://wiki.swarma.net/index.php/复杂网络的双曲几何模型

[6] 2016年11月《科学美国人》发表的科普文章：Juan Maldacena, “Black Holes and Wormholes and the Secrets of Quantum Spacetime”, Scientific American 315, 26 - 31 (2016)

[7] 关于量子信息与量子纠缠（尤亦庄在集智百科上面的介绍）：http://wiki.swarma.net/index.php/2016研读营之张量网络

[8] 关于量子信息与量子计算（经典教科书）：Michael Nielson & Issac L. Chuang, "Quantum computation and quantum information", Cambridge University Press, 2001

[9] 关于 AdS/CFT 对应（维基百科上的词条）：https://en.wikipedia.org/wiki/AdS/CFT_correspondence

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赛先生系今日头条签约作者

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