拖链线的标准（悬链线问题）

今天来聊聊悬链线问题，这是数学史上非常著名的一个难题，可以媲美最速降线问题。

先来说说问题的历史和发展：著名画家达·芬奇画完他的《抱银貂的女人》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？

这就是著名的悬链线问题，然而达芬奇还没有找到答案就去世了。

从外表上看，悬链线很像抛物线。荷兰物理学家惠更斯用物理方法证明了这条曲线不是抛物线，但到底是什么，他一时也求不出来。

与达芬奇时隔170年后，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论文中提到确定悬链线性质（即方程）的问题。实际上，该问题存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推测过悬链线是一条抛物线，但问题一直悬而未决。雅各布认为，应用奇妙的微积分方法也许可以解决这一问题。

遗憾的是，面对这个苦恼的难题，雅各布没有丝毫进展。一年后，雅各布的努力还是没有结果，可他却懊恼地看到他的弟弟约翰·伯努利发表了这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却几乎不能算是一个谦和的胜利者，因为他后来回忆说：

我哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了全面解开这道难题的技巧（我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）……没错，为研究这道题，我整整一晚没有休息……不过第二天早晨，我就满怀欣喜地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但毫无进展。他像伽利略一样，始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他说，不要再折磨自己去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。

可笑的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了“整整一晚”的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是一种“奇耻大辱”。

这哥俩在学术上一直是竞争关系，弟弟没怎么占到哥哥的便宜，所以好不容易有个成果，当然要好好羞辱哥哥一番。另外这个约翰·伯努利就是大数学家欧拉的老师。欧拉正是在跟约翰·伯努利学习期间从约翰与哥德巴赫的通信中得知伽玛函数问题并成功解决这一难题而一举成名。

现在我们用数学方法推导一下悬链线的曲线方程:

所以

关于微积分可以参考前面文章——怎样理解定积分

悬链线问题的正式表述为：有一质地均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂.试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线？

如下图为坐标系中该绳索(悬链线)的部分图象（红色）：

设绳索的最低点为A .设绳索曲线的方程为y=φ(x),考虑绳索上点A到另一点M间的一段弧AM,设其长为s.假定绳索的线密度为ρ,则弧AM所受重力为ρgs.由于绳索是柔软的，因而在点A处的张力沿水平的切线方向(该点导数为零),设其大小设为H;在点M处的张力沿该点处的切线方向,设其倾角为θ,其大小为T,因为作用于弧AM的外力相互平衡,把作用于弧AM上的力沿竖直及水平两方向分解，得：

两式相除得：

根据函数图象曲线的长度计算方法(参见前面文章——如何计算函数图象的曲线长度)知：

上式两端求导得到函数y=φ(x)满足的微分方程：

两边积分(左边部分积分见上面f(x)的例子)得

所以

该式两端积分得

这便是双曲余弦函数：

所以悬链线曲线的方程是双曲余弦型函数。

在上述悬链线问题的解决中我们再次见识了微积分在处理数学问题时的强大，可以说微积分变革了整个数学世界！