方程组与不等式组总复习教案（课勤课清专题二）

方程的分类

考点

2.1 一元一次方程及可以化为一元一次方程的分式方程

一元一次方程的概念

1、方程

　　含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解

　　能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质

　　（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

a=b←→a c=b c

　　（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

a=b←→ac=bc (c≠0)

4、一元一次方程

　　只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。

注意：解法

　　　一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→

系数化成1→解。验根

说明：对于以为未知数的最简方程，若没有给出字母a和b的取值范围，其解有下面三种情况：

①时一元一次方程，有唯一解．

②，时，方程无解．

③，时，方程有无数个解．

　　分式方程

5、分式方程

　　分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

6、分式方程的一般方法

　　解分式方程的思想是将分式方程转化为整式方程。它的一般解法是：

　　（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

　　（2）解所得的整式方程

　　（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

7、分式方程的特殊解法

　　换元法：

　　换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

注意．方程的增根与遗根

(1)在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根．

(2)在方程变形时，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根．

8、常用的相等关系

1． 行程问题（匀速运动）

　　基本关系：s=vt

⑴相遇问题(同时出发)：　　 =;　　⑵追及问题（同时出发）：　　　　若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则　　　　⑶水中航行：;

⑷配料问题：溶质=溶液×浓度

溶液=溶质 溶剂

⑸．增长率问题：

⑹．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位1）。

⑺．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

　　注意语言与解析式的互化

　　如，多、少、增加了、增加为（到）、同时、扩大为（到）、扩大了、......

　　又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a 10b c，而不是abc。

　　注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y 3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算

如，小时分钟的换算;s、v、t单位的一致等。

　　列方程（组）解应用题

　　是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

　　综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。

考点

2.2 二元一次方程组

1、二元一次方程

　　含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（

2、二元一次方程的解

　　使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。一般形式：（不全为0）

4二元一次方程组的解

　　使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

　　基本思想：消元

解法：（1）代入法（2）加减法⑶二元一次方程组一元一次方程组．

6、三元一次方程

　　把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

7、三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。(1)一般形式：

(2)解法：

三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程组．

考点

2.3一元一次不等式〔组〕

1、不等式

　　用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2、不等式的解集

　　对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

　　对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

　　求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

4、不等式基本性质

⑴、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

⑵、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

⑶、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

　　　不等式的性质：⑴ab←→a cb c

⑵ab←→acbc(c0)

⑶ab←→acbc(c0)

⑷（传递性）ab,bc→ac

⑸ab,cd→a cb d.

5、一元一次不等式

⑴、一元一次不等式的概念

　　一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

⑵、一元一次不等式的解法 （在数轴上表示解集）

　　解一元一次不等式的一般步骤：

　　（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1

即通过去分母、去括号、移项合并同类项，把不等式化为(或)()的形式，再把系数化为1得出不等式的解集．

说明：在去分母和化系数为l时，需特别注意不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下：

①当时，(或)．

②当时，(或)．

③当时，若，不等式无解(或不等式的解集为一切实数)．

④当时，若，不等式的解为一切实数(或不等式无解)．

6、一元一次不等式组

⑴、一元一次不等式组的概念

　　几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

　　几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

　　求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

　　当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

⑵、一元一次不等式组的解法 （在数轴上表示解集）

　　（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

　　（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中)．口诀不等式组解集在数轴上表示

同小取小

同大取大

大小取中

两背为空

不等式组无解

考点

2.4 一元二次方程

1、一元二次方程

　　含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

　　，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

3、一元二次方程的解法

①、直接开平方法

　　利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b0时，方程没有实数根。

②、配方法

　　配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

③、公式法

　　公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

　　一元二次方程的求根公式：　　　　④、因式分解法

　　因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

4、一元二次方程根的判别式

　　根的判别式

　　一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用来表示，即

①方程有两个不相等的实数根．

②方程有两个相等的实数根．

③方程无实数根．

④方程有两个实数根。反之：①一元二次方程有两个不等实根

②一元二次方程有两个相等实根

③一元二次方程无实根

④一元二次方程有两个实根

结论：（1）若二次三项式是完全平方式，则方程的判别式=0。

（2）方程有实数根，包括两种情况：①有两个实数根，②，只有一个实数根。

　　说明：根的判别式最常见的用法有：

①不解方程判别一元二次方程根的情况。

②由方程根的情况确定某些字母的值或范围．

5、一元二次方程根与系数的关系

　　如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

注意⑴逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。

⑵常用等式：　　　　　　　　⑶，⑷

6、一元二次方程的应用题

（1）商品利润问题：每件商品利润=售价-进价

涨价时：

　　商品总利润=每件商品利润×商品件数=(原来利润 涨价)×（原来件数-减少件数）

降价时：

　　商品总利润=每件商品利润×商品件数=(原来利润-降价)×（原来件数 增加件数）

（2）增长率问题：

①（其中是原来数量，是增长次数，是次增长后到达数）②

（3）矩形内修路问题的常用思路是用平移集中法。

列方程(组)解应用题，千万不要死记硬背例题的类型及其解法，要具体问题具体分析，一般来讲，应按下面的步骤进行：

1．审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出能够表示应用问题的全部含义的等量关系．

2．设未知数：选择一个或几个适当的未知量，用字母表示，并根据题目的数量关系，用含未知数的代数式表示相关的未知量．

3．列方程(组)：根据等量关系列出方程(组)．

4．解方程(组)：其过程可以省略，但要注意技巧和方法。

5．检验：首先检查所列方程(组)是否正确，然后检验所得方程的解是否符合题意．

6．写答：不要忘记单位名称．

7、分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．

②特殊解法：换元法．

(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．

8．二元二次方程组

(1)由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．

(2)由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组．

基本解法是：消元，转化为解一元二次方程；降次，转化为解二元一次方程组．

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