二次函数动轴动区间解题思路（轴定区间）

例：求函数f(x)=Ⅹ²一2X 3在区间[t一2，t]上的最值。

[思路探寻]抛物线开口向上，无论区间怎么移动，最大值只可能在端点处取得，作差f(t一2)一f(t)后讨论；最小值随着区间移动，单调性变化求出。

先求最大值M。

f(t一2)一f(t)=一4(t一2)，

当t≥2时，f(t一2)≤f(t)，

M=f(t)=t²一2t 3，

当t<2时，f(t一2)>f(t)，

M=f(t一2)=t²一6t 11，

综上所述：M={

t²一2t 3，t≥2

t²一6t 11，t<2。

再求最小值。

抛物线开口向上，对称轴X=1，

①当t≤1时，f(X)在区间[t一2，t]上单调递减，m=f(t)=t²一2t 3，

②当t一2≥1即t≥3时，f(X)在区间[t一2，t]上单调递增，

m=f(t一2)=t²一6t 11，

③当t一2<1<t即1<t<3时，f(X)在区间[t一2，t]上先减后增，

m=f(1)=2，综上所述，m={

t²一2t 3，t≤1，

2，1<t<3，

t²一6t 11，t≥3

[迁移1]已知函数f(X)=一X²一4X 3，X∈[t，t 1]，求函数的最值。

[思路探寻]抛物线开口向下，最小值只可能在区间端点处取得，作差f(t)一f(t 1)，然后分两类讨论。最大值根据对称轴在区间的左、中、右分三类根据单调性讨论。

[迁移2]已知f(X)=X² 2X 2，

①若X∈R，求f(X)的最小值；

②若X∈[1，3]，求f(Ⅹ)的最小值；

③若X∈[a，a 2]，a∈R，求f(X)的最小值。

[思路探寻]X的取值范围层层递进，①X∈R，初中解法；②X∈[1，3]定轴定区间，直接依单调性求；

③轴定区间变，根据对称轴在区间的左、中、右分三类讨论。

[迁移3]已知函数f(X)=X²一aX a/2在[O，1]的最大值为g(a)，求g(a)的最小值。

[思路探寻]先求最大值，因抛物线开口向上，最大值在f(0)或f(1)取得，作差分两类求g(a)；根据分段函数g(a)的单调性，求出最小值。

[解析]f(0)一f(1)=a一1，当a≥1时，f(0)≥f(1)，g(a)=f(0)=a/2；

当a<1时，f(0)<f(1)，g(a)=1一a/2

∴g(a)={

a/2，a≥1

1一a/2，a<1。

因为g(X)在(一∞，1)上单调递减，在[1， ∞)上单调递增，所以最小值为f(1)=1/2。

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