初中数学对称最小值（初中数学-培优）

相对相称-对称分析法

【阅读与思考】

对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称:

1.代数中的对称式

如果把一一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式a b，ab表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.

2.几何图形的对称

几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线(某点)的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.

【例题与求解】

【解析】

要求PM PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值求解.

【点评】

考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用.综合运用这些知识是解决本题的关键.

【解析】

将b=2-a代入W=√(a² 4) √(b² 1)，得到W的关于a的表达式，再利用勾股定理，将表达式转化为直角三角形两斜边AP、BP的和，利用勾股定理求和即可.

【点评】

此题考查了轴对称--最短路径问题，将表达式转化为勾股定理，体现了数形结合在解题中的作用.

方法一：

方法二：

【点评】

本题考查的是最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.

【能力训练】

【解析】根据轴对称图形的概念可得∠AFC=∠EFC，∠BCF=∠DCF，再根据题目条件∠AFC ∠BCF=150°可得到∠AFE ∠BCD的度数.

【点评】此题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握轴对称图形的对称轴两边的图形能完全重合.

【解析】根据折叠的性质及等边对等角的性质，可得到∠BAE=∠EAC=∠ECA，根据三角形内角和定理即可求得∠ECA的度数，再根据直角三角形的性质不难求得AC的长.

【点评】本题考查等腰三角形的性质及直角三角形性质和翻折变换等知识；对于翻折变换问题，找准对应的相等关系是正确解答的关键.

【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接AB，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可.

【点评】此题考查了轴对称最短路径问题，根据题意构造出对称点，转化为直角三角形的问题是解题的关键.

【解析】要求PE PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解.

【点评】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.

【解析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

【点评】掌握好轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

【解析】先M关于BC的对称点M'与A的连线AM'与BC交点时PA PM取最小值t，当P与C重合时为最大值s，再根据特殊角的三角函数值及勾股定理分别求出s、t的值即可.

【点评】本题考查的是最短路线问题，根据题意分别作出各点的对称点，即辅助线是解答此题的关键.

【解析】根据三角形的内角和等于180°求出(a b)的度数，然后根据平角的度数等于180°列式求出(d e)的度数，再根据四边形的内角和等于360°列式求出f的度数，再利用平角的定义即可求出x的值.

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及物理学中反射角等于入射角的知识，求出d、e的和是解题的关键，也是难点.

【点评】 本题为方案设计题，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力，以及观察探究和分类讨论的数学思想方法.

【点评】本题考查当三角形的周长最短时，未知数的值的求法，考查当四边形ABDC的周长最短时，未知数的值的求法，考查使四边形ABMN周长最短时，未知数的值的是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用.

【解析】(1)根据折叠的性质知∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠CAF，即∠EAF=2∠BAC=90°；而∠E=∠ADB=∠F=∠ADC=90°，由此可证得四边形AEMF是矩形；而AE=AF=AD，所以四边形AEMF是正方形；

(2)欲求正方形的面积，需求出正方形的边长，可设正方形的边长为x；由折叠的性质知BE=BD，CD=CF，即可用x表示出BM、MC的长，进而可在Rt△BMC中，由勾股定理求得正方形的边长，即可得到正方形的面积.

【点评】此题考查了图形的折叠变换、正方形的判定、勾股定理以及图形面积的求法，能够根据折叠的性质正确地得到与已知和所求相关的相等角和相等边，是解答此题的关键.

【点评】解决此题的关键在与掌握P点的运动规律，能够理解每两个相邻P点与矩形顶点所构成的三角形是等腰直角三角形，是解答此题的关键.

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