单调数列为收敛数列（所有单调数列都是收敛的）

#创作挑战赛#

在高等数学中有这么一道练习题，要求证明单调递增数列的上极限等于数列的极限.

证明：若{an}为递增数列，则lim ̅(n→∞)an=lim(n→∞)an.

这个问题恐怕难倒了不少小伙伴，关键是，很多人完成证明之后，并不明白这个定理到底讲的是什么。根据极限存在的充要条件，上极限=下极限。可以知道，只要上极限等于极限，下极限也会等于极限，即数列有唯一的极限，也就是说，这个数列收敛。从而得到一个结论：递增数列收敛。

再换个角度想一下，既然递增数列的上极限等于极限，从而又等于下极限。那么递减数列，是否也有下极限等于极限，从而也等于上极限，说明递减数列同样收敛。从而得到“单调数列收敛”的结论呢？

下面老黄给小伙伴们分享这道题的证明过程：

证：若{an}有界，则由单调有界定理知，lim(n→∞)an存在，且lim ̅(n→∞)an=lim)n→∞)an.

若{an}无界，则lim ̅(n→∞)an= ∞，【显然，这里的收敛包括收敛于无穷大的类型，虽然数列(或函数)没有上界，但这也是分成两种情况的，一种是没有上界，且不收敛于无穷大的，这种情况下通常是在无穷大的地方振荡的；另一种是没有上界，但却收敛于无穷大的】

从而对任意正数M，{an}中大于M的项有无限多个，

设aN>M，由{an}的增性，当n>N时，an>aN>M，

∴lim(n→∞)an= ∞=lim ̅(n→∞)an，得证！

同理也可以证明递减的数列有下极限等于极限。不过我们并不需要重复上面的过程。只要设{bn}是递减数列，然后取它的相反数列{-bn}，就是一个递增数列，由上面证明的结果，就可以知道lim(n→∞)(-bn)= ∞=lim ̅(n→∞)(-bn).

又由lim(n→∞)(-bn)=-lim(n→∞)bn, 而lim ̅(n→∞)(-bn)=-▁lim(n→∞)bn.

就可以得到lim(n→∞)bn=▁lim(n→∞)bn的结论了。

综上可知，单调数列有：lim ̅(n→∞)an=▁lim(n→∞)an=lim(n→∞)an.

直观地说，这是因为单调数列只有在n趋于无穷大的地方，才有可能有数列的无限多个项造成的结果。