你知道它为什么圆滚滚的吗 但是能够说出它由来的

你知道它为什么圆滚滚的吗 但是能够说出它由来的(1)

简洁而优美这就是数学的魅力所在

大家吼啊,这里依旧是十八线科普网红超模君。今天来给大家讲讲一个让人又爱又怕的名词——“极限”的故事。

说起极限啊,恐怕学过高数的人都是“满纸荒唐言,一把辛酸泪”了:你说没有它吧,高等数学后面的内容别想看懂;你说弄懂它吧,却不知道这简简单单的两个字,耗费了人类接近两千年的心血。

要问“极限”的概念从什么时候开始有,恐怕要从一根“尺棰”说起。(别看错,是“棰”,不是“锤”)

所谓的“尺棰”,就是一尺长的木杖。《庄子·天下篇》里面记载着惠施(就是经常和庄子爷爷抬杠的那位)的一段话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。

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当然,“极限”的萌芽可不仅仅只是东方有,古希腊也有关于“极限”的萌芽的故事。古希腊智人学派的安蒂丰(约公元前480—公元前410),在讨论“化圆为方”的问题时,想到用不断增加边数的正多边形来接近圆的面积——因为边数越多,正多边形与圆的相差面积就越小。

这与后来中国数学家刘徽的“割圆术”基本相同,只不过刘徽的描述更详细明了——通过构造边数不断翻倍的正多边形(刘徽是从正六边形开始的),计算其面积,从而接近其外接圆的面积。

刘徽在阐述他的思想时说道:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆和体,而无所失矣。”

可以看到,“极限”在最开始出现的时候,是基于具体的形象(木杖、圆)产生的,并且奠定了“无限接近”的特性。

时间来到中世纪,这时“极限”褪去了直观的外衣,开始蒙上了一层神秘的面纱。

为“极限”蒙上神秘面纱的是两个人——牛顿和莱布尼茨。(虽然这两个人本意是想弄清楚“极限”的定义,但是没想到越弄越混……)

先说说牛顿。

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听说有人要讲我,赶紧摆好高人的姿势……

对于如何定义“极限”,牛顿是从他老人家最擅长的领域——物理入手的。

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他老人家说:“你看啊,这个物体,它用一定的时间,从一个地方挪到另一个地方,如果我想知道它挪得有多快,只需要用挪过的距离除以时间就可以了(∆s/∆t)。

“但是啊,这个物体并不是每一刻都挪动得一样快的啊,它可以在上一刻很快,下一刻很慢,如果我想知道其中一刻物体到底有多快,那该怎么办?

“要想知道这个,其实也不难。如果我将挪动的时间无限缩短(∆t无限趋近于0),那么这段时间内挪动的距离也会相应地无限缩短,当缩短到某一个程度时,计算出来的速度就可以看做是这个时刻的瞬时速度。

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“而这个通过将挪动时间无限缩短所计算出来的瞬时速度,就是所谓的极限。”

当时的数学家一听,都觉得“诶是这么个道理”。但是很快就有人提出质疑:

按照您老人家的说法,运动是连续的,也就是说客观存在一个“瞬时速度”。可是您给出的定义,所谓的瞬时速度是挪动时间无限趋近于0时产生的位移,那么这里挪动时间是否等于0?

如果不等于,那么此瞬时速度非彼“瞬时速度”,我们就永远不可能知道客观存在的“瞬时速度”;如果等于,那么等式又不符合基本数学运算规则。

这咋整啊?

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此时莱布尼茨也遇到了同样的问题。

虽然不同于牛顿从物理入手来定义“极限”(莱布尼茨用的方法比较复杂,建议有兴趣的模友可以自行去了解),但是莱布尼茨和牛顿一样,在计算或推理过程中,有时会舍弃“无穷小”的概念。这让人们再次质问:到底无穷小和0存在什么区别?他们在推理过程中作用是否一样?

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面对这个问题,莱布尼茨给出的答案也是“含糊其辞”:考虑到这样一种无穷小是有用的,当寻找它们的比时,不把他们当做零,但是只要他们和无法相比的大量一起出现,就把他们舍弃。

又是一个看起来有点道理,但又说不清楚的回答……

牛顿和莱布尼茨遇到的难题,使得分析数学一度陷入被轻视的状态。18世纪的英国哲学家伯克莱甚至很不客气地说:牛顿时隐时现的无穷小是一个“消失的幽灵”,而牛顿本人,则是“睁着眼睛说瞎话”。

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在这里,“极限”的概念正式转入数学,但是人们对它的定义与理解,依然需要直观的过程(如牛顿的运动过程),描述也只是停留于语言,因而导致了“极限”处于越来越神秘、似是而非的状态。

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直到19世纪,终于有人率先把“极限”从幽灵状态中拽了出来。

这个人,就是柯西

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柯西:没想到我还跟幽灵打过交道吧?

1821年,柯西在他编写的《教程》里面写道:“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小有多小,这个定值叫做所有其它值的极限。

这个定义,让“极限”的概念转向了算术领域,摆脱了原本依附于几何或物理的说明,它不再是未被分割的木杖,不再是肉眼不可见的缝隙、不再是时隐时现的“幽灵”。

柯西还提出了著名的“收敛理论”:

当一个变量的数值这样(指变量与定值之差要多小有多小)地无限减小,使之收敛到极限零,那么这个变量就叫做无穷小;当变量的数值这样地无限的增大,使该变量收敛到极限∞,那么该变量就称为无穷大。

这个理论完美地解决了牛顿和莱布尼茨有关“无穷小”的理论难以自圆其说的问题,让这个“极限”的概念从模糊走向了明晰。

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1851年到1854年,维尔斯特拉斯终于用严格的算术定义,为“极限”这个飘荡许久的概念添上最后一笔:

如果对于每一个预先给定的任意小的正数ε,总存在一个正数δ,使得对于适合不等式0<|x-x0|<δ的一切x,所对应的函数值f(x)都满足|f(x)-A|<ε,则常数A就叫做y=f(x)当x→x0时的极限。

也就是现在我们在高数课本上见到的“极限”的定义。能够看到,“极限”的最终定义,是明晰的、严谨的。它不需要借助实际的事物或者直观的图形来理解,而仅仅用几个已知的概念,通过逻辑推理,就可以完全理解,简洁而优美。

如果我们放眼整个人类获得思维的过程,我们就会惊奇地发现,人类竟然从浩如烟海的具体事物当中,总结、归纳,用一个个不甚复杂的概念,构建出一个可以认识、思考眼前世界的思维。

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这或许真的只有人类能做到,也是人类一步步走到万物中心的重要原因。

本文由超级数学建模整理编辑

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