如何建立桥梁结构的动力计算模型（基于频率协整的桥梁结构整体损伤识别方法）

戴俊搴

福建省交通建设工程试验检测有限公司

摘 要：以基于物联网的桥梁群全寿命安全监测评估系统研究项目为背景，引入计量经济学中处理非平稳问题的协整概念，统计选取协整余量的控制线，以控制线识别桥梁整体结构是否完好，最后通过算例对本方法的有效性进行验证，该研究成果可为同类桥梁结构整体损伤识别和分析提供参考。

关键词：频率协整;桥梁结构;损伤识别;

1 引言

频率是反映结构基本特征的参数之一，从结构无损检测开始，许多学者就从频率出发，研究频率在结构损伤之后的变化情况，来识别结构状态。频率易测量且精度相对较高，对于现有仪器来说，最高分辨率可达0.1%，满足工程精度要求。

频率能够与结构的性能状态提现一定程度的关联性，但是，在实际工程应用中会受到噪声干扰较大、温度等外界环境因素的影响，使量测数据缺乏稳定性。介于以上问题，本文以基于物联网的桥梁群全寿命安全监测评估系统研究项目为背景，引入计量经济学中处理非平稳问题的协整概念，首先检验结构振动响应能否满足协整的基本条件;然后将结构正常运营状态下采集的数据作为训练样本，计算可得协整余量，再根据统计理论选取协整余量的控制线;最后以控制线为基准，在后期的监测过程中，若频率的协整余量超过该控制线，表示结构有可能发生损伤，否则结构完好。研究成果可为同类桥梁工程结构整体损伤识别和分析提供参考。

2 协整理论2.1 协整的含义

协整理论最早是由Granger和Engle于上个世纪80年代提出，其主要研究的是两个及两个以上的非平稳信号之间的关系。定义协整的概念之前，先明确单整的概念。假设一段非平稳信号yt经过d阶差分Δayt=Δ(Δa-1yt)后可变成平稳信号，那么可认为yt是d阶是单整的，可记为I(d)。若时间序列未经过差分，自身检测结果本身是平稳的，那么可以看成是0阶单整，即为I(0)。如果某一时间序列信号不论经过几次差分，结果始终无法转化为平稳信号，那么该信号为非单整信号。在理解单整的概念之后，接下来给出协整的含义。

若时间序列x1t,x2t…xnt都是d阶单整的，且存在向量a=(a1,a2…an)，使得zt=aX'～I(d-b)，其中，d≥b>0,xt=(x1t,x2t…xnt)'，则称该时间序列x1t,x2t…xnt是(d-b)阶协整序列，可记为xt～CI(db)，其中，a称为协整向量。

2.2 频率用于结构损伤识别的可行性

多自由度体系动力特征方程为:

通过求解方程，可把任意一阶振动频率用广义质量Mi*和广义刚度Ki*的形式表示:

式中:ωi为结构第i阶圆频率;i为对应第i阶振型。

对式(2)取一阶变分，并进行Taylor级数展开，可得到结构特征值变化δλi和刚度变化δK，并且满足下面的关系:

式中，刚度变化δK为半负定，因此，结构特征值变化δλi≤0，可知结构的固有振动频率为损伤的单调非增函数。可见，基于结构振动频率的变化来判断结构是否发生损伤在理论上是可行的。另外，与结构的其它模态参数相比，结构的振动频率比较容易测得，且获得每个构件频率所需布置的测点数较少;再者，目前在各个领域都有较先进的频率测试系统，频率测量的精度也越来越高，实际工程中能测得的桥梁振动频率精度可达到0.0001Hz，测量的频率可包含损伤引起的频率变化值。同时，还可以测得桥梁的较高阶振动频率。

基于以上频率用于损伤识别的可行性分析，目前仍有很多学者利用结构的固有频率来判断结构的损伤情况，因此，本文以频率为参数，利用协整理论来识别结构的损伤。

2.3 基于频率协整损伤识别的理论推导

从式(2)可得，任意两阶频率的表达式为:

结构在完好状态下，任意两阶频率fj和fi的比值γ可表示为:

从式(5)可知，结构频率与结构的质量矩阵和刚度矩阵密切相关。结构未发生损伤时，任意两阶频率之比仅同模态振型相关，则上式可改写为:

当结构处于随时间变化的工况序列下，上式右端不再为0。可推广为一般的表达形式:

式中:αi，αj为相应的协整系数;εt为均值为0的高斯白噪声。

由此可知，结构任意的两阶频率都是协整的。当结构产生损伤时，两阶频率间的协整关系将会改变，若保持原来的协整系数不变，将损伤结构的频率代入式(7)，可得:

由式(7)减去式(8)，可得结构损伤前后变化的协整余量:

其中，Δft,i，Δft,j为损伤前的频率与损伤后的频率之差。此时，εd,t的均值不再为零，从而Δεt在结构损伤时刻会产生突变，即损伤前后两阶频率的协整余量在损伤发生的时候会发生阶跃现象，由此可判断结构是否发生损伤。

根据相关文献指出，对于训练样本，取3倍的频率协整余量标准差值σ，即可包括95%以上的协整余量。当Δεt恒定超出±3σ时，即可判断损伤的发生。

2.4 抗噪性能分析

实际桥梁健康监测采集的数据，由于传感器本身的因素影响，及外界干扰因素的作用，不可避免的将使信息中包含有无用的噪声信息，因此，损伤识别算法的有效性还与其抗噪能力密切相关。抗噪性能好才能在实际工程监测中发挥其损伤识别的功效，否则无法应用于工程项目。

考虑噪声的影响后，任意两阶频率的协整方程由式(7)转化为:

整理方程(2-10)得到:

等式右边的均值为E(εt-αi∧δi-αj∧δj)，由于噪声δi和δj的均值都为0，由数学期望值的性质可知:

可见，加入噪声后的任意两阶频率间仍满足协整的关系。将结构损伤前后的频率都考虑噪声的影响，分别代入式(8)和式(9)，最终可得:

式中，Δδt,j和Δδt,i的数学期望值为0，Δεt在结构损伤前后会发生明显的跳跃，由此可见，基于频率协整的结构损伤识别方法具有较好的抗噪性能。

3 算例

以某悬索桥作为研究对象。大桥主桥部分全长470m，由主桥、南引桥及北引桥三大部分组成，主塔结构设计为钢筋混凝土门式结构，塔高为136.2m、桥面以上塔高部分约103m，主塔塔柱设计为从下至上宽度逐渐变小的直塔柱;下塔柱使用单箱单室截面，高28.2m，塔柱底为3.0m实体段。主桥部分钢箱梁采用封闭式箱形截面，顶面宽为36m，两侧外挑人行道，总宽达42m，底部平底板宽33m，见图1(b)。锚跨混凝土箱梁主要作用是将主缆均分散锚固，通过钢-混凝土结合段将主缆水平力较为均匀的传递至钢箱梁，锚跨混凝土箱梁分为南岸和北岸。南锚跨标准断面仍使用与主跨钢箱梁一致的单箱四室截面，主桥桥面全宽42m。北岸锚跨混凝土箱梁桥面宽42m，其断面为单箱四室截面。吊索顺桥向按照7m的间隔布置，主梁在悬吊部分采用钢箱梁，两侧外伸跨部分采用预应力混凝土箱梁。根据设计资料，简化的独塔自锚式悬索桥主要构件的截面参数如表1所示。

图1 悬索桥结构图 下载原图

表1 主要构件截面参数 下载原图

*注:I22、I33对于加劲梁分别为横桥向截面惯性矩和竖桥向惯性矩;对于主塔、边墩而言，分别表示横桥向惯性矩和纵桥向惯性矩。

悬索桥的主塔刚度通常较大，局部轻微损伤不会导致主梁竖向振动频率的改变。因此，本文主要识别主梁的损伤。

结构损伤的模拟通常采用刚度折减来模拟，损伤单元的刚度为(EI)D=x(EI),x为刚度折减系数，(1-x)为损伤程度。对主梁模拟了5%和10%的低损伤情况。为验证本文提出的损伤识别方法的抗噪性能，考虑实际测量中频率的噪声水平，分析了添加1%噪声水平后的损伤识别情况。

假设桥梁易损截面发生损伤，模拟了塔梁连接处截面，主跨跨中附近截面的损伤。每个截面分别模拟了5%和10%的损伤程度。利用前4阶竖向振动频率的协整余量识别主梁损伤，其结果见图2～图9，其中控制线为参考样本序列±3倍标准差。

图2 主跨跨中附近5%损伤识别结果 下载原图

图3 主跨跨中附近10%损伤识别结果 下载原图

从图2～图5可以看出，在环境温度影响下，基于频率协整的损伤识别方法能有效的识别主梁各截面位置的损伤，在5%低损伤的情况下，该方法同样有效。结构未发生损伤时，各协整余量大部分都在控制线以内，当结构发生损伤时，余量均值将发生突变。且损伤越大，突变越明显。

同时，f1-f2协整余量对塔梁截面位置相比于对主跨截面低损伤识别更敏感。f3-f4协整余量对塔梁截面位置损伤的敏感度较高，对主跨截面损伤的敏感度较小。

考虑实际测量中得到的频率不可避免的存在噪声影响，有必要对协整对法抗噪性能进行检验。从整体上来看，加入噪声后，各频率协整余量的突变性质不发生改变，说明噪声对损伤区域的判断不会造成影响。利用主梁前4阶竖向振动频率间的协整关系，都能有效的识别出损伤的发生，前2阶频率序列余量与后2阶频率序列余量之间形成互补关系，弥补了仅由两阶频率无法准确识别损伤的缺陷。

图4 塔梁连接截面5%损伤识别结果 下载原图

图5 塔梁连接截面10%损伤识别结果 下载原图

综合以上分析结果可知，由于主梁各截面刚度对竖向振动频率的影响不同，可通过主梁前4阶竖向振动频率序列的协整关系，利用协整余量突变性质，从整体上有效的判断结构是否发生损伤。由于结构振动频率测量技术成熟，可获得结构前几阶频率的精确值，因此，本文提出的协整对法能有效的应用与实际桥梁的长期监测中。

图6 主跨跨中附近5%损伤识别结果(有噪声) 下载原图

图7 主跨跨中附近10%损伤识别结果(有噪声) 下载原图

4 结论

对于测量数据的不稳定性和噪声干扰一直是国际上进行数据分析的大难题，本文引入了计量经济学处理非平稳问题的协整概念，提出的基于频率协整的结构整体损伤识别方法提高了损伤识别的有效性和鲁棒性，特别是其不受随机车辆荷载的影响，在不中断车辆运行的情况下，能够保证损伤识别的有效性，具有非常广阔的应用前景。

图8 塔梁连接截面5%损伤识别结果(有噪声) 下载原图

图9 塔梁连接截面10%损伤识别结果(有噪声) 下载原图

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