无穷大与无穷小之间存在什么关系(无穷大到底有多大)
无穷也分大小
自然数和偶数一样多
今天,在吃饭的时候8岁表妹问到超模君,什么数是最大的呢?
咳咳(假装润喉),看来前几天学的有关无穷大的知识终于能用(zhuang)上(bi)了。
在原始人时期,人们数数最多数到 3 ,因为对他们来说 3 之后就是很大很大的数字。也就是说,假如原始人玩数最大的游戏,谁先从 1 开始数,谁就能获胜。
后来一直到了古希腊时期,一位哲学家——亚里士多德首先提出了无穷这一想法,也就是表妹说的“无数”,之后才有了无穷大这个概念。
亚里士多德
答案是:自然数和偶数一样多!
怎么说?
首先我们想象一下,把奇数写在上面,偶数写在下面。再把奇数1拿上去,偶数2拿下来,以此类推,只要这样进行下去,哪方拿出一个数以后,另一方拿不出数,那么当然就是最后拿出数字的那一方数比较大。
可是拿出奇数或者偶数这个动作可以做多少次呢?
我们会发现,是无穷次,所以这样对比是没有意义滴!
康托尔是这么认为的(敲黑板)。按照上图的方法可以看出,奇数和偶数是存在无数对一一对应,这就说明,偶数和奇数的个数是一样的。
这种方法也叫做无穷大数算数。
现代集合论奠基人—康托尔
但是这还没有完,按照正常人的想法,自然数包括奇数和偶数,总体大于部分,那自然数肯定大于偶数呀。
先别急,我们换种方式思考下,继续用上面的方法.
把基数一行换成自然数(n),把偶数行换成对应自然数的倍数(2n),我们会发现,这样自然数和偶数也是一一对应的,也是是说偶数数量和自然数数量是一样多,这在现代集合论中,称之为等势。
通常来说在集合理论中,如果两个无穷大相等,就叫做等势,也叫有相同的基数(不是奇数哦),基数简单来说就是无穷集合中的元素个数。
刚刚我们说过的自然数与偶数就是等势。同理,只要把对应自然数的2倍减1(2n-1)就可以发现奇数和自然数也是一一对应,所以奇数和自然数也是等势。
我们首先把两条线段其中一端相连,构成一个三角形,然后画一条和底线平行的虚线。
然后你会发现,虚线经过线段A截出点C,同时就可以在线段B上戳出点C',这两个点就是一一对应的关系,所以这样看,线段A、B上点的个数是一样的。
我们再看看线段和平面,取长度为 1 的线段和边长为 1 的正方形。正方形上任意一个点都会有坐标,比如(0.56,0.89),在线段上我们上就可以表示为0.5689,它们还是一一对应。
同理线段和立方体也是一样,即同为等势。
由于「直线上的点」不仅有自然数还有无理数,所以无法在自然数中找到「直线中全部的点」,但是自然数都可以在「直线的点」里找到。
显而易见,直线和自然数不是等势的,且直线的势大于自然数的势。
我们设自然数集和线段的点集分别为第一,第二级势,那么只要找到比他更大的势的就可以啦!
举个列子,曲线上的点集就是比线段上的点集还要大的势。曲线上的点在线段上无法找到全部的点一一对应,所以说曲线上的点比线段上的点要大。
表妹非常激动地留了眼泪,心里默默想着:我要回去找我朋友炫(zhuang)耀(bi)了!!
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