圆周率完整版（无限的圆周率）

一．概念描述

现代数学：圆周率是数学中的重要常数之一，在欧氏平面上，圆的周长和直径的比称为圆周率，记为“π”，数π的常用值取为3.1416，它在天文、数学、物理、工程等学科中有着广泛的应用。π是一个无理数。

小学数学：小学数学教材中一般都给出了明确的定义，如2011年人教版教材六年级上册第63页指出：任意一个圆的周长与它的直径的比是一个固定的数，我们把它叫作圆周率……它是一个无限不循环小数。再如2012年北师大版教材六年级上册第12页指出：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率……计算时通常取3. 14。

二．概念解读

研究圆周率最早的文献记载是古埃及的莱茵德纸草书（约公元前1650年），取π≈3.1605。《旧约全书》列王记中也有使用圆周率为3的记载（公元前9世纪前后）。在印度，公元前六世纪，曾取π≈3. 162。

早期人们是通过实验对π值进行估算的，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。

公元前2世纪，希腊学者阿基米德利用圆外切与圆内接正96边形逼近求得圆周率介于3(10/71)与3(1/7)之间。这是第一次在科学中提供了误差的估计以及所得结果精确度的确定，开创了圆周率计算的几何方法。

在我国，远在上古时期就有“径一周三”的古率（《周髀算经》中有述）。东、西汉之交，新朝王莽令刘歆做铜斛时，算出3. 154之值，后世称为“歆率”。

魏朝的刘徽应用极限思想证明了求圆面积的公式和给出了计算圆周率的方法，即著名的割圆术。“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆合体，而无所失矣”，得出π=3. 14，通常称为“徽率”。割圆术仅用内接正多边形就确定了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。他提出的计算圆周率的科学方法奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。

南北朝时，祖冲之进一步推算出圆周率，3 .1415926<正数<3. 1415927，密率355/113，约率22/7。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。

在欧洲，德国人奥托于1573年得到了和祖冲之相似的结论，但已经晚了1100多年。

用几何方法求圆周率的值，计算量很大。荷兰人鲁道夫用了毕生精力才将圆周率算至小数点后35位。1593年，韦达给出π的分析表达式2/π=√2/2 ·(√2 √2)/2 ·(√2 (√2 √2))/2......

后来又出现了多种表达式，π的位数也迅速增长。1947年英国人弗格森和伦奇两人共同发表了有808位正确小数的π，这是人工计算π值的最高纪录。

除了以上这些方法，法国人蒲丰还提出用概率方法求出π的值。找一根粗细均匀、长度为d的细针，并在一张白纸上画上一组间距为l的平行线（方便起见，常取l=d/2），然后随机地将小针投掷在白纸上，这样反复地投多次，算算针与直线相交的概率就可得到π的近似值。这是数学历史上第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验来处理确定性数学问题。

1949年美国首次用计算机计算π值，从此，随着电子计算机运算速度不断加快和计算方法的屡屡改进，圆周率计算的纪录不断被刷新。现在，人们对圆周率的计算已经达到了上亿位。

三．教学建议

圆的度量在几何学中占有极为重要的地位，是人类对形的研究由“直”跨入“曲”的关键一步，也是数学思想从“有限”到“无限”的一次飞跃。因此，现行的小学数学教材不仅十分重视圆周率的教学，而且还都补充了关于圆周率推算的史料，目的是充分发挥其教育价值。教师在教学中应该注意以下两点：

(1)明确测量活动的目的

在学习“圆的周长”之前，不少学生已经对圆周率有所了解，也知道圆周长的计算公式，在这种情况下再让学生去探究，发现结论，或者去验证圆周率，似乎都没有什么意义。但是学生现有的知识水平，却只有实际度量这一种方法。如何处理这一问题呢？孙雪林老师在“圆的周长”一课中为我们提供了很好的案例。他认为测量活动的目的绝不仅仅在于实验的结果，还应该包括科学严谨，实事求是的态度和对数据的反思意识等。孙老师在让学生动手测量之后，对数据进行了深入的分析，引导学生发现用测量的方法，无论怎样减少误差，得到的永远是长度的近似值。进而让学生思考：圆的周长与直径之间存在的这个三倍多一些的关系是变化的，还是确定不变的？我们该如何研究呢？从而使学生感悟到解决数学问题有时不能单纯依靠实际度量，还必须依靠深入的理论研究与分析，并在此基础上介绍割圆术，渗透“化曲为直”，“极限”等数学思想。

(2)充分发挥数学史的教育价值

一提到圆周率，很多人自然就联想到祖冲之。确实，祖冲之对圆周率的推算做出了巨大贡献，但古今中外有多少数学家为了精确计算圆周牢孜孜以求，甚至付出了一生的心血。可以说圆周率不能专属于某个人或某个群体，它应该是人类共有的精神财富。在刚刚提到的孙老师的案例中，他对圆周率的介绍就非常全面、客观、公正，不仅使学生了解了人类探索圆周率的过程，培养了民族自豪感，同时体会到了人类对真理的追求永无止境。

四．推荐阅读

(1)《圆面积公式与圆周率究竟是怎样推求的》（傅海伦，《数学教育学报》，2001年第2期）

该文对圆面积公式及圆周率近似值的科学推算史实进行了澄清，使我们重新认识了作为数学家的刘徽---他的无穷小分割思想、极限思想、机械化的方法，他做出的贡献及其深远的历史影响。

(2)《从圆周率史的发展看圆周率学习的指导》（荆俊华，《上海中学数学》，2011年第4期）

该文在综述圆周率发展史的基础上，考察部分数学家对圆周率的探究和计算，并就怎样利用圆周率的发展史有效地指导这一内容的学习提出了一些看法。