小学二年级的奥数枚举法（小学奥数知识点趣味学习）

简单枚举法

知识要点:

一个问题中，如果有优先的几种可能的情况,往往需要将这些可能的情况全部列举出来，逐个进行讨论。这种方法就称为枚举（或穷举）

枚举时，应注意考虑要全面，不要遗漏。

枚举时，还应注意如下分类，分类的标准不同，情况也不一定相同，讨论的过程也会有差异。

典例评析

例1

从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和大于50，共有多少种不同的取法？

【分析】取法有很多，找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键

解 若两数中较大的是50，则另一个可以取1,2,3，…，49，共49种取法；

若两数中较大的是49，则另一个可以取1,2,3，…，48，共47种取法；

若两数中较大的是48，则另一个可以取1,2,3，…，47，共45种取法；

……

若两数中较大的是26，则另一个只能取25，共1种取法。

因此共有1 3 5 … 47 49=625种取法。

说明 在运用枚举法时，一定要找出问题的本质，按照一定的规律去设计枚举的形式。

【思考1】从1～50这50个自然数中选取两个数字，使它们的和不大于50，共有多少种不同的取法

600种。取法共有2 4 6 …… 46 48=600.

例2

求证：若整数n不是5的倍数，则n2也不是5的倍数。

【分析】不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类，按4类来讨论。

证明：不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类，设为5k 1、5k 2、5k 3、5k 4（k为整数），

① n=5k 1时，n2=5（5k2 2k） 1，不是5的倍数；

② n=5k 2时，n2=5（5k2 4k） 4，不是5的倍数；

③ n=5k 3时，n2=5（5k2 6k 1） 4，不是5的倍数；

④ n=5k 4时，n2=5（5k2 8k 3） 1，不是5的倍数。

∴若整数n不是5的倍数，则n2不是5的倍数。

说明 本题体现了在枚举法里常见的思路：分类考查，要注意分类的科学性。

【思考2】除以4余1的两位数共有几个？

22个

令这样的数为4k 1（k为整数），只要令其值在10到99之间就可以了。则k=3,4,5…23,24。共22个。

例3 ：

今有一角币1张、贰角币1张、伍角币1张、一元币4张、五元币2张。这些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的款？

【分析】本题如直接枚举，情况复杂，很难求出正确答案。我们可以先考虑付款的数额范围，在此范围内，再考虑那些不能构成的付款数额，将其剔除。

由题意，付款的最小数额为1角，最大数额为14.8元。其间1角的整数倍共有148种款额。另一方面，4角、9角，这两种数额是这些钱币无法付出的，所以1.4元、1.9元、2.4元、2.9元、3.4元、3.9元、…、14.4元，这些数额也无法付出。上述这些付不出的数额共29种，应剔除。所以能付出的数额应是148-29=119（种）。

说明 本题采用逆向思维，把本来比较复杂的正面枚举改为较简单的反面枚举。这是我们做题时的常见的策略。

【思考4】把4位数x先四舍五入到十位，所得之数再四舍五入到百位，所得之数再四舍五入到千位，恰好得到2000，则x的最小值和最大值是多少？

最小值是1445，最大值是2444. 可以倒过来想，要是x最小，千位必为1，百位为4，十位为4，各位最小为5即可。同理可以退出最大值。