因数倍数质数合数基本概念（质因数和密电码）

数学来源于生活。我们所学的数学知识，都是直接或间接地为实际服务的。大家都知道，小学学分解质因数是为了学习分数的需要。因为分数的加减法要用到通分，乘除法要用到约分，而通分、约分需要用到分解质因数。除此而外，分解质因数还有什么用，大家可能就不知道了。前几年，美国数学家把分解质因数问题应用于密电码，为国家安全保密工作找到了一条新的途径。

我们需要先讲一点密码学。把明文变换成密文，需要两个元素：变换的规则和变换的参数。前者是编码的算法，例如"在英文字母表上前进x步"。后者是密钥，例如上述算法中的x这个数。如果取x = 1，明文的"fly at once"（立即起飞）就会变成密文的"gmz bu podf"。

最容易想到的保密框架，是通信双方都知道同一组密钥，A用它将明文转换成密文，B用它将密文变换回原文。《红灯记》、《潜伏》等谍战片中情报人员舍死忘生、殚精竭虑保护和争夺的密码本，就是密钥。由于通信双方都知道同一组密钥，所以这种方法叫做"对称密码体制"。对称密码体制究竟安全不安全呢？回答是：密码本身可以是安全的，但密钥的分发不安全。

在易守难攻的数学问题中，"因数分解"就是一个典型例子。目前世界最常用的密码系统之一，就是基于因数分解的RSA（这是三位发明者的首字母缩写）公钥密码体制。

把两个质数相乘，这是很容易的事。可是，反过来，要想把一个相当大的数分解为质因数的乘积，就不那么简单了。例如，计算29与31的乘积，这是不难的，答案是899。但反过来，若要把899分解为质因数，就不那么容易了。至于要分解更大的数，就更困难了。下面是分解几个大数的质因数所需用的时间：

由表中可以看出，用笔算试除法来分解一个50位的大数，竟需要约100亿年的时间，这实际上是不可能做到的事。而用电子计算机，只要15秒钟就可以完成。可是，也应该看到，对于更大的数，即使用电子计算机，目前也是很费事费时的。例如一个1000位大的大数进行分解，就需用连续一星期的时间。至于更大的数，那困难就更大了。大数难分解，国家安全机关就把这种"难"的原理应用到密电码上，为国家的安全保卫工作立了大功，且被银行和工矿企业广泛应用。

原来，在具体编码时，是用01、02、03、04、……09、10、11、……26分别表示英文的26个字母，将电文中的单词按字母的顺序"翻译"成数，然后按照一定的方法进行编码。由于人们只知道大数（即质因数的乘积），而不知道这些质因数，因此并不知道电码的秘密。唯一能破译这种密电码的是掌握质因数这个"谜底"的人。

目前世界最常用的密码系统之一，就是基于因数分解的RSA（这是三位发明者的首字母缩写）公钥密码体制。

解释一下，因数分解指的是把一个合数分解成两个质因数的乘积，例如21 = 3 × 7。分解21当然轻而易举，你不管三七二十一就能分解它。不过，来分解2^67 – 1 = 147,573,952,589,676,412,927看看？这是个18位数。1644年（李自成进北京那一年），人们以为它是一个质数。直到1903年（清朝都快亡了），人们才发现它是一个合数，等于193,707,721 × 761,838,257,287。分解这个数，几乎花了一个朝代的时间！

为什么会这么困难呢？用计算机科学的语言说，随着位数的增加，因数分解的计算量是"指数增长"的，而指数增长是一种非常快的增长，比"多项式增长"要快得多。

具体一点说，如果计算机一秒做1012次运算，那么分解一个300位的数字需要15万年，分解一个5000位的数字需要50亿年，——地球的年龄也不过是46亿年而已！

公钥密码体制的安全性，依赖于数学问题的困难性。但是，计算量是与算法有关的。比如说你要计算17乘以28，愚笨的做法是把17个28一个个加起来，聪明的做法是按照多位数的乘法列出算式，后者显然比前者快得多。

对于像因数分解这样的难题，人们在不断寻找更好的算法。我们肯定的只是，在目前公开的最好的算法下，因数分解的计算量是指数增长的。将来有没有可能找到更好的算法，把计算量减到可破解的程度？当然有可能。这还只是就公开资料而言。更令人夜不安寝的是，能解密的算法也许已经被某些国家、某些组织掌握了，只是没有公布！

当然，随着电子计算机的不断发展，人们对质因数的分解也会逐渐取得新的突破，今天分解不了的大数，明天就可能分解。到那时，分解质因数的奥秘将逐一被揭穿，而这种密电码的安全性就成问题了。因此，密码学处于一种无止境的军备竞赛对抗之中，一方提出更强的攻击算法，另一方提出更强的保密算法，无限地循环下去。而量子密码术，改变了密码攻防的基本格局，量子密码术是目前唯一能从原理上证明安全性的密码体制。

量子通信具有很多特点，与传统的通信方式相比较，量子通信最大的优势就是不可比拟的高安全性和高效率性。首先，传统通信方式采用加密方式保证信息的安全，比较容易被破解。量子通信利用光量子的不可复制性，其密钥不是固定的，充满随机性，即使密钥被截获也无法被破译。因此，理论上量子通信可以做到绝对安全。其次，量子编码的效率非常高，是两个量子自旋态的组合态。因此，用少量光子可以传输大量的信息。此外，量子通信还有较强的抗干扰能力、很好的隐蔽性能及较低的噪音比等特点。

量子通信根据应用途径，可分为量子密码通信、量子远程传态和量子密集编码等。按所传输光的特性，可分为经典通信和量子通信，前者主要传输量子密钥，后者则可用于量子隐形传态和量子纠缠密钥的分发。当前，量子通信为满足通信过程中较高的保密需求，主要采用量子纠缠态，随着技术不断进步，量子通信的内涵也将不断延展。

2017年8月，世界首颗量子科学实验卫星"墨子号"在国际上首次实现千公里星地双向量子纠缠分发、星地高速量子密钥分发、地星量子隐形传态；"天宫二号"成功实现了基于小型化终端的星地量子密钥分发。2017年9月，世界首条连接多个城市的量子通信"京沪干线"正式开通；同时，结合"京沪干线"和"墨子号"的天地链路，实现了世界首次洲际量子视频通信，标志着我国已构建天地一体化广域量子通信网络雏形。