区间套的定义技巧 它是区间套中的幽灵

#创作挑战赛#

老黄一直认为，区间套中有一只“幽灵”，那么高等数学中是怎么定义这只幽灵的呢？它就是聚点的定义：

设S为数轴上的点集，ξ为定点. 若ξ的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称ξ为点集S的一个聚点.

虽然聚点被定义在点集上，但它其实也是一个区间套系列中，每个区间套所确定的数，也就是老黄之前的作品中一直强调的那只“幽灵”。下面是一些点集的聚点实例：

比如，点集S={(-1)n 1/n}有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1；

点集S={1/n}只有一个聚点ξ=0；

又S=(a,b)，则(a,b)内每一点以及端点a,b都是S的聚点；开区间上每一个点，包括两个端点，都是聚点，这是实数的稠密性决定的。

正整数集N 没有聚点，任何有限数集也没有聚点。

另外，极限都是聚点，你知道这是为什么吗？对于数列来说，假设数列an收敛于ξ，那么由极限的邻域充要条件可知，对∀ε>0, 在U(ξ,ε)上都有{an}的无穷多个点(几乎所有点), 由聚点的定义就可以知道ξ点列an的聚点。

对于函数极限来说，若lim( x→x0 )f(x)=A，由归结原则可知，必然存在lim(n→∞)f(xn)=A, {xn}⊂U⁰ (x0)或{xn}⊂U⁰-(x0), 由数列的极限是聚点就可以知道，A是{f(xn)}的聚点, 即A是f(x)的聚点.

但反过来说就不一定成立了。你不能说聚点就是极限。不过聚点又的确可以作为某些点列的极限，只不过你要指明这个点列才行。因此，一个聚点，就肯定存在两个符合区间套定义的“端点数列”，使得这两个数列的极限都是这个聚点。所以每个聚点都是一系列区间套中每一个区间套所确定的点。反过来，你又能说明区间套确定的点，即老黄一直强调的那只幽灵，也是一个聚点吗？

我们可以记区间套确定的点为ξ, 由区间套定理的推论可知对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N时有[an,bn]⊂U(ξ; ε). 即ξ的任何邻域内都含有{[an,bn]}中无穷多个区间(点)，∴ξ是{[an,bn]}的聚点.

你也可以把区间理解成一个点。把区间理解成一个点，这可能会有点令人费解，但这其实正是聚点的特殊之处。而如果你把聚点理解成一个普通的点，那肯定也是不准确的。老黄认为，它是有两种状态的，一种状态是动态的点的状态，类似于光的光子状态。另外一种状态就是区间的状态，它是一个极小的区间，小到近似于一个点，类似于光的波弦的状态。你对老黄的看法是否赞同呢？

为了强化对聚点的理解，我们再探究两个问题：

1、说明正整数集没有聚点。

证：对任意正整数n,取ε0=1, 则在邻域U(n, ε0)中，最多只有n-1, n, n 1三个点,

∴n不是正整数集N 的聚点. 由n的任意性可知，正整数集N 没有聚点.

2、说明任何有限集都没有聚点.

证：设S为有限集， ξ是它的聚点，由聚点的定义， ξ的任何邻域内都含有S中无穷多个点，

即S是一个无限集，矛盾！∴任何有限集都没有聚点.

我们可以这么理解，只要聚点这个幽灵存在，它就肯定会有无数的分身，厉害吧！