自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)

我们知道以下前n项自然数平方和的计算公式:

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(1)

有很多关于这个公式的证明方法,比如数学归纳法、待定系数法、裂项相消法等。今天介绍两个数形结合的方法。

方法一

我们知道前n项自然数的和

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(2)

于是

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(3)

这是巧合吗?

把左边平方和拆开,乘法拆成加法,写成

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(4)

第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数,...,第n行n个数,这样一共(1 2 3 ... n)=n(n 1)/2 个数相加。

简记为一张三角形图:

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(5)

逆时针旋转120°,得到

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(6)

再逆时针旋转120°,又得到

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(7)

对上面三个三角形,相同位置处的三个数对应相加,其和恰为定值(2n 1),即:

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(8)

于是

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(9)

方法二

立体的看,平方和就是下面所有方块的体积和:

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(10)

堆起来,就是

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(11)

类似地,取三堆相同的

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(12)

然后再堆起来

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(13)

最上面一层的方块,从中间切开,拼到缺的那部分,就得到一个三边分别为n 1/2,n,n 1的长方体:

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(14)

于是总体积

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(15)

当然,第二种方法也可以取6堆,直接拼成一个三边分别为2n 1,n,n 1的长方体。

殊途同归。

最后附赠一个自然数立方和的图解:

自然数的平方和公式的推导(图解自然数的平方和公式)(16)

来自B站视频ThinkTwice

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