自然数的平方和公式的推导（图解自然数的平方和公式）

我们知道以下前n项自然数平方和的计算公式：

有很多关于这个公式的证明方法，比如数学归纳法、待定系数法、裂项相消法等。今天介绍两个数形结合的方法。

我们知道前n项自然数的和

于是

这是巧合吗？

把左边平方和拆开，乘法拆成加法，写成

第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，...，第n行n个数，这样一共（1 2 3 ... n)=n(n 1)/2 个数相加。

简记为一张三角形图：

逆时针旋转120°，得到

再逆时针旋转120°，又得到

对上面三个三角形，相同位置处的三个数对应相加，其和恰为定值（2n 1)，即：

于是

立体的看，平方和就是下面所有方块的体积和：

堆起来，就是

类似地，取三堆相同的

然后再堆起来

最上面一层的方块，从中间切开，拼到缺的那部分，就得到一个三边分别为n 1/2,n,n 1的长方体：

于是总体积

当然，第二种方法也可以取6堆，直接拼成一个三边分别为2n 1,n,n 1的长方体。

殊途同归。

最后附赠一个自然数立方和的图解：

来自B站视频ThinkTwice