平方根的笔算方法（生活中的魔法数学）

《生活中的魔法数学》节选：平方根的笔算

作者：［美］亚瑟·本杰明 ［美］迈克尔·谢尔默

译者：李旭大

随着便携式计算器的应用与普及，平方根的笔算事实上已经成了一门失传的艺术和技巧。通过前面的学习，你已经知道了平方根心算的估算方法。现在我将向你讲解如何进行平方根的笔算。

你还记得如何采用心算法估算出19的平方根吗？现在我们再进行一次求19的平方根的表演。当然，这一次给出的将是确切的平方根：

图一

例题1

下面，我将描述一种适用于计算任何数的平方根的方法，而上面这个例子将有助于你理解这种方法。

第一步：如果某数小数点前的数位是1、3、5、7或者任何奇数，那么，它的平方根的第一位数(商数)就是它的第一位数平方根的整数，(换句话说，它的平方根的第一位数是一个最大、但其平方数又比它的第一位数小的数)；如果它的小数点前的数位是2、4、6、8或者任何偶数，那么，它的平方根的第一位数就是这个数前两位数平方根的整数(换句话说，它的平方根的第一位数是一个最大、但其平方数又比它的前两位数小的数)。例如，求19的平方根，因为19的位数是偶数，因此它的平方根的第一位数就应当是19的平方根的整数部分；或者说是某个最大、但其平方比19小的数，而符合这个条件的数就是4。在求出第一位数之后，把它写在原数前一位数(奇数位数时)或者前两位数(偶数位数时)的商的位置。

第二步：用原数前一位数或前两位数减去第一步求得的商数的平方，然后拉下原数接下来的两位数。由于4²=16，而19－16=3，拉下两个0之后，目前的余数是300。

第三步：将目前所得的商数乘以2，(不要理会小数点)，然后再在它的后面加上一个空格。由于4×2=8，把8_×_放在目前所剩余数(即300)的左边。

第四步：下一个商数是一个最大的数，把它放在两个空格的位置上，乘积要小于或者等于目前所剩的余数。对于这个例子而言，这个数就是3，因为83×3=249，而84×4=336，显然336比300大。在原数拉下的两位数字的商位写下这个数。对于这个例子，3就写在第二个0的商位上。到此时为止，商位上的数是4.3。

第五步：如果想得到确切的平方根数，我们还可以继续向下计算——用余数减去乘积(即300－249=51)，然后再拉下原数接下来的两位数。在这个例子中，拉下两位数之后，51就成了5100，而5100也就成了目前的余数。接下来可以重复第三、第四步。

要求出平方根的第三位数，首先要用2乘商数(仍不要理会小数点)，即：43×2=86。然后把86_×_放在余数5100的左边。如果空格上的数是5的话，那么，865×5=4325，而4325又比5100小(如果取6的话，866×6=5496 ，而5496大于5100)，所以5就是所求平方根的第三位数，因此把它写在接下来两位数的商位上，在这个例子中就是接下来的那两个0上。到现在为止，商位上的商数为4.35了。如果想要求出更多的位数，你可以重复上述过程，正如例子中所示的那样。

下面再举一个求平方根的例子。在这个例子中，小数点前的位数为奇数：

图二

例题2

接下来，我们将计算一个四位数的平方根。对于这个例子，我们先考虑这个数的前两位，以确定平方根的第一位数：

图三

例题3

最后，如果一个数的平方根是一个有限的数，那么，在计算到最后时所得的余数应当是0。例如：

图四

例题4

这个笔算方法的原理就是完全平方公式：

(a＋b)²=a²＋2ab b²=a² b(2a b)

古代数学家求平方根的方法图解

需要注意的是，a在每一个步骤所代表的数在变化。以例1而言，第一步a是4，第二步a是43，第一步a是435……

第一步a是4，余数是3，拉下两个0之后，余数变成300。

相应的，a从4变成40，2a变成80，我们需要找到b，让b乘以(2a b)的乘积小于或等于目前的余数300。

符合条件的数是3，于是第二步a变成43，余数是51，拉下两个0之后，余数变成5100。

相应的，a从43变成430，2a变成860，我们需要找到b，让b乘以(2a b)的乘积小于或等于目前的余数5100。

以下步骤略……

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读。再见。